99. Намиране Елементи На Равнобедрен И Правоъгълен Трапец

Стъпка 1: Анализ на фигурата и намиране на височината

Нека равнобедреният триъгълник е \( \triangle ABC \) с основа \( AB = 4 \) cm и бедра \( AC = BC \). Ъгълът при основата е \( \angle CAB = \alpha \), като е дадено, че \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{4} \).
Начертаваме равнобедрен триъгълник \( \triangle ABC \) с хоризонтална основа \( AB \) (с дължина 4 см) и връх \( C \) над нея, така че \( AC = BC \). Построяваме височината \( CH \) от върха \( C \) към основата \( AB \), като отбелязваме, че \( CH \perp AB \) (т.е. \( \angle AHC = 90^\circ \)). Тъй като триъгълникът е равнобедрен, височината \( CH \) е също и медиана, което означава, че точка \( H \) е средата на отсечката \( AB \). Следователно, \( AH = HB = 2 \) см. Отбелязваме дължината на височината \( CH \) като 2.5 см. Начертаваме описаната около триъгълника окръжност, която преминава през върховете \( A, B \) и \( C \). Центърът на тази окръжност е точка \( O \), която лежи на височината \( CH \) между точките \( C \) и \( H \). Свързваме точка \( O \) с върховете \( A \) и \( C \). Отсечките \( OA \) и \( OC \) са радиуси на окръжността, означени с \( R \). Отбелязваме също отсечката \( OH \), като \( OH = CH - OC = 2.5 - R \). Разглеждаме правоъгълния \( \triangle AHC \) (\( \angle AHC = 90^\circ \)). В него: - Катетът \( AH \) е половината от основата \( AB \): \[ AH = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см} \] - От дефиницията за тангенс в правоъгълен триъгълник имаме: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{CH}{AH} \] - Заместваме с известните стойности и намираме дължината на височината \( CH \): \[ \frac{5}{4} = \frac{CH}{2} \] \[ CH = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5 \text{ см} \]

Стъпка 2: Използване на свойствата на описаната окръжност

Центърът \( O \) на описаната окръжност около равнобедрен триъгълник лежи на височината към основата. Радиусът \( R \) на тази окръжност е разстоянието от центъра \( O \) до всеки от върховете на триъгълника. Следователно \( OA = OC = R \). Разглеждаме правоъгълния \( \triangle AHO \) (\( \angle AHO = 90^\circ \)). Страните му са: - Хипотенуза \( AO = R \) - Катет \( AH = 2 \) см - Катет \( OH \) Дължината на катета \( OH \) можем да изразим чрез височината \( CH \) и радиуса \( R \). Тъй като точка \( O \) лежи на отсечката \( CH \), имаме \( CH = CO + OH \). Оттук: \[ OH = CH - CO = CH - R = 2,5 - R \]

Стъпка 3: Прилагане на Питагорова теорема и намиране на радиуса

Прилагаме Питагоровата теорема за правоъгълния \( \triangle AHO \): \[ AO^2 = AH^2 + OH^2 \] Заместваме страните с техните изрази: \[ R^2 = 2^2 + (2,5 - R)^2 \] Сега решаваме полученото уравнение спрямо \( R \). Разкриваме скобите, като използваме формулата за съкратено умножение \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ R^2 = 4 + (2,5^2 - 2 \cdot 2,5 \cdot R + R^2) \] \[ R^2 = 4 + 6,25 - 5R + R^2 \] Прехвърляме членовете, съдържащи \( R \), от едната страна на равенството, а свободните членове – от другата. \[ \cancel{R^2} - \cancel{R^2} + 5R = 4 + 6,25 \] \[ 5R = 10,25 \] Намираме \( R \): \[ R = \frac{10,25}{5} = 2,05 \text{ см} \] Можем да извършим същите пресмятания и с обикновени дроби: \[ R^2 = 2^2 + \left(\frac{5}{2} - R\right)^2 \] \[ R^2 = 4 + \frac{25}{4} - 2 \cdot \frac{5}{2} R + R^2 \] \[ \cancel{R^2} = 4 + \frac{25}{4} - 5R + \cancel{R^2} \] \[ 5R = 4 + \frac{25}{4} = \frac{16}{4} + \frac{25}{4} = \frac{41}{4} \] \[ R = \frac{41}{4 \cdot 5} = \frac{41}{20} = 2,05 \text{ см} \] Радиусът на описаната около триъгълника окръжност е \( 2,05 \) см.

Нека \( \triangle ABC \) е равнобедрен, \( AB = 4 \) см, \( \operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{4} \). \( CH \) - височина \(\Rightarrow AH = \frac{AB}{2} = 2 \) см. От \( \triangle AHC \): \( \operatorname{tg}\alpha = \frac{CH}{AH} \Rightarrow \frac{5}{4} = \frac{CH}{2} \Rightarrow CH=2,5 \) см. \( O \) - център на описаната окръжност, \( O \in CH \). Разглеждаме \( \triangle AHO \): \( AO=R, AH=2, OH = CH - R = 2,5-R \). От Питагоровата теорема: \( R^2 = AH^2 + OH^2 \). \( R^2 = 2^2 + (2,5-R)^2 \Rightarrow R^2 = 4 + 6,25 - 5R + R^2 \). \( 5R = 10,25 \Rightarrow R = 2,05 \) см.