Най-важното от урока
1. Означи неизвестните: Например, скорост на лодка \(x\), скорост на течение \(y\).
2. Състави система: От условията на задачата изведи две уравнения. Например: \( \begin{cases} x+y=48 \\ x-y=42 \end{cases} \).
3. Реши системата: Намери стойностите на \(x\) и \(y\). Например: \(x=45, y=3\).
4. Напиши отговор: Формулирай отговора с думи. Например: Скоростта на лодката е 45 km/h, а на течението е 3 km/h.
2. Състави система: От условията на задачата изведи две уравнения. Например: \( \begin{cases} x+y=48 \\ x-y=42 \end{cases} \).
3. Реши системата: Намери стойностите на \(x\) и \(y\). Например: \(x=45, y=3\).
4. Напиши отговор: Формулирай отговора с думи. Например: Скоростта на лодката е 45 km/h, а на течението е 3 km/h.
Моделирането със системи уравнения е процес на превръщане на текстово условие в математически модел (система от уравнения), който се решава, за да се намери отговорът на задачата.
Внимателно прочитаме условието и определяме кои са двете търсени величини. Означаваме ги с променливи, най-често \(x\) и \(y\), и ако е необходимо, задаваме дефиниционно множество (ДС), например \(x > 0\) за цена или скорост.
Използваме зависимостите, описани в условието, за да съставим две уравнения, които свързват неизвестните \(x\) и \(y\). Тези две уравнения образуват система линейни уравнения.
Решаваме съставената система чрез един от познатите методи (събиране, заместване) и намираме стойностите на \(x\) и \(y\).
Проверяваме дали получените стойности отговарят на дефиниционното множество и на логиката на задачата. Записваме отговора с думи.
При задачи за движение по река, скоростта на течението се добавя към скоростта на обекта (по течението) или се изважда от нея (срещу течението).
\[ V_{по \ течение} = V_{лодка} + V_{течение} \]
\[ V_{срещу \ течение} = V_{лодка} - V_{течение} \]
Където \(V_{лодка}\) е скоростта в спокойни води.
Нека скоростта на лодка в спокойна вода е \(x\) km/h, а на течението е \(y\) km/h. Ако скоростта по течението е 48 km/h, а срещу него е 42 km/h, съставяме системата:
\[ \begin{cases} x + y = 48 \\ x - y = 42 \end{cases} \]
Чрез събиране на двете уравнения намираме \(2x = 90 \Rightarrow x = 45\) km/h. Като заместим, получаваме \(45 + y = 48 \Rightarrow y = 3\) km/h.
Скоростта на катер по течението е 30 km/h, а срещу течението е 22 km/h. Намерете скоростта на катера в спокойни води.
Нека \(x\) е скоростта на катера, а \(y\) е на течението.
\[ \begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 22 \end{cases} \]
Събираме двете уравнения: \(2x = 52 \Rightarrow x = 26\) km/h.
Отговор: Скоростта на катера в спокойни води е 26 km/h.
Отговор: Скоростта на катера в спокойни води е 26 km/h.
В тези задачи цялата работа се приема за единица (1). Производителността (частта от работата, свършена за единица време) е реципрочна на времето за самостоятелно свършване на цялата работа.
Ако един работник свършва дадена работа за 20 дни, неговата производителност за 1 ден е \(\frac{1}{20}\) от работата. Ако е работил \(y\) дни, той е свършил част от работата, равна на \(y \cdot \frac{1}{20} = \frac{y}{20}\).
Ако друг работник (с време 30 дни) е работил \(x\) дни, а първият \(y\) дни и заедно са свършили цялата работа, уравнението е:
\[ \frac{x}{30} + \frac{y}{20} = 1 \]
Ако друг работник (с време 30 дни) е работил \(x\) дни, а първият \(y\) дни и заедно са свършили цялата работа, уравнението е:
Една тръба пълни басейн за 10 часа, а друга - за 15 часа. Каква част от басейна ще напълнят, ако първата тръба работи 3 часа, а втората - 2 часа?
Производителността на първата тръба е \(\frac{1}{10}\) на час, а на втората - \(\frac{1}{15}\) на час.
Свършена работа: \(3 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{1}{15} = \frac{3}{10} + \frac{2}{15} = \frac{9+4}{30} = \frac{13}{30}\).
Отговор: Ще напълнят \(\frac{13}{30}\) от басейна.
Свършена работа: \(3 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{1}{15} = \frac{3}{10} + \frac{2}{15} = \frac{9+4}{30} = \frac{13}{30}\).
Отговор: Ще напълнят \(\frac{13}{30}\) от басейна.
Задачи за упражнение
Лесна: Сборът на две числа е 45, а разликата им е 11. Намерете числата.
Нека числата са \(x\) и \(y\).
\[ \begin{cases} x + y = 45 \\ x - y = 11 \end{cases} \]
Събираме уравненията: \(2x = 56 \Rightarrow x = 28\).
Заместваме: \(28 + y = 45 \Rightarrow y = 17\).
Отговор: Числата са 28 и 17.
Отговор: Числата са 28 и 17.
Средна: За 2 kg ябълки и 3 kg портокали са платени 12 лв. За 4 kg ябълки и 2 kg портокали от същия вид са платени 16 лв. Намерете цената за 1 kg от всеки плод.
Нека цената на 1 kg ябълки е \(x\) лв., а на 1 kg портокали е \(y\) лв.
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \quad |\cdot(-2) \\ 4x + 2y = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -4x - 6y = -24 \\ 4x + 2y = 16 \end{cases} \]
Събираме уравненията: \(-4y = -8 \Rightarrow y = 2\) лв.
Заместваме в първото уравнение: \(2x + 3(2) = 12 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\) лв.
Отговор: 1 kg ябълки струва 3 лв., а 1 kg портокали - 2 лв.
Отговор: 1 kg ябълки струва 3 лв., а 1 kg портокали - 2 лв.
Трудна: Два трактора, като работят заедно, могат да изорат една нива за 12 часа. След като работили заедно 8 часа, първият трактор се повредил и вторият довършил сам останалата работа за 7 часа. За колко часа всеки от тракторите може сам да изоре нивата?
Нека първият трактор оре сам за \(x\) часа, а вторият за \(y\) часа. Техните производителности са \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{y}\).
От първото условие: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\).
За 8 часа заедно са свършили \(8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3}\) от работата.
Останала е \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\) от работата.
Вторият трактор я е свършил за 7 часа, т.е. \(7 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 21\) часа.
Заместваме \(y=21\) в първото уравнение: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{21} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21} = \frac{7-4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28} \Rightarrow x=28\) часа.
Отговор: Първият трактор може да изоре нивата сам за 28 часа, а вторият - за 21 часа.
От първото условие: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\).
За 8 часа заедно са свършили \(8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{3}\) от работата.
Останала е \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\) от работата.
Вторият трактор я е свършил за 7 часа, т.е. \(7 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 21\) часа.
Заместваме \(y=21\) в първото уравнение: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{21} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21} = \frac{7-4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28} \Rightarrow x=28\) часа.
Отговор: Първият трактор може да изоре нивата сам за 28 часа, а вторият - за 21 часа.
