Най-важното от урока
Ключова идея: Решаването на равнобедрен триъгълник се свежда до решаване на правоъгълен триъгълник, получен от височината към основата.
Основни зависимости (при дадени \(c\) и \(\alpha\)):
Основни зависимости (при дадени \(c\) и \(\alpha\)):
- Бедро: \(b = \frac{c}{2 \cos \alpha}\) (чрез косинус)
- Височина: \(h = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \alpha\) (чрез тангенс)
- Лице: \(S = \frac{c^2}{4} \operatorname{tg} \alpha\) (след заместване на височината)
- Радиус на вписана окръжност: \(r = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\) (чрез \(\triangle AOD\))
- Радиус на описана окръжност: \(R = \frac{b}{2 \sin \alpha}\) (чрез Синусова теорема)
Ключът към решаване на задачи за равнобедрен триъгълник е построяването на височината \(h\) към основата \(c\). Тази височина я разделя на две равни части (\(c/2\)) и едновременно с това е ъглополовяща на ъгъла при върха \(\gamma\).
По този начин равнобедреният \(\triangle ABC\) се разделя на два напълно еднакви правоъгълни триъгълника (\(\triangle ADC\) и \(\triangle BDC\)), в които можем да приложим тригонометрични функции.
В правоъгълния \(\triangle ADC\):
- Хипотенуза: \(AC = b\) (бедрото)
- Прилежащ катет на \(\alpha\): \(AD = c/2\) (половината основа)
- Срещулежащ катет на \(\alpha\): \(CD = h\) (височината)
В равнобедрен \(\triangle ABC\) с основа \(AB=12\) и бедро \(AC=10\), намерете височината към основата \(h\).
Разглеждаме правоъгълния \(\triangle ADC\), в който \(AD = c/2 = 12/2 = 6\) и хипотенузата \(AC=10\). От Питагоровата теорема:
\[ h^2 + AD^2 = AC^2 \]
\[ h^2 + 6^2 = 10^2 \implies h^2 = 100 - 36 = 64 \implies h = 8 \]
Когато са известни основата \(c\) и ъгълът при основата \(\alpha\), можем да намерим останалите основни елементи чрез тригонометрични функции в правоъгълния \(\triangle ADC\).
Бедро (b): \[ b = \frac{c}{2 \cos \alpha} \]
Изведено от \(\cos \alpha = \frac{AD}{AC} = \frac{c/2}{b}\)
Височина към основата (h): \[ h = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \alpha \]
Изведено от \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{CD}{AD} = \frac{h}{c/2}\)
Лице (S): \[ S = \frac{c^2}{4} \operatorname{tg} \alpha \]
Изведено от \(S = \frac{c \cdot h}{2}\)
Намерете бедрото и лицето на равнобедрен триъгълник с основа \(c=10\) cm и ъгъл при основата \(\alpha = 60^\circ\).
Бедро: \( b = \frac{10}{2 \cos 60^\circ} = \frac{10}{2 \cdot (1/2)} = 10 \) cm.
Лице: \( S = \frac{10^2}{4} \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{100}{4} \sqrt{3} = 25\sqrt{3} \) cm2.
Лице: \( S = \frac{10^2}{4} \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{100}{4} \sqrt{3} = 25\sqrt{3} \) cm2.
Центърът на вписаната окръжност \(O\) лежи на височината \(CD\). Радиусът \(r\) е перпендикуляр от центъра към страна. Разглежда се правоъгълният \(\triangle AOD\), където \(AO\) е ъглополовяща на \(\angle A\), следователно \(\angle OAD = \alpha/2\).
\[ r = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \]
Изведено от \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{OD}{AD} = \frac{r}{c/2}\)
Намерете радиуса на вписаната окръжност в равнобедрен правоъгълен триъгълник с основа (хипотенуза) \(c=12\).
В равнобедрен правоъгълен триъгълник ъглите при основата са \(\alpha = 45^\circ\).
\[ r = \frac{12}{2} \operatorname{tg} \frac{45^\circ}{2} = 6 \operatorname{tg}(22.5^\circ) \]
Тъй като \(\operatorname{tg}(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1\), получаваме \( r = 6(\sqrt{2}-1) \).
Радиусът на описаната окръжност \(R\) може да се намери най-лесно чрез Синусовата теорема за \(\triangle ABC\).
\[ R = \frac{b}{2 \sin \alpha} \]
Като заместим \(b = \frac{c}{2 \cos \alpha}\), получаваме:
\[ R = \frac{c}{4 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{c}{2 \sin(2\alpha)} \]
Намерете радиуса на описаната окръжност около равнобедрен триъгълник с бедро \(b=8\) и ъгъл при основата \(\alpha=30^\circ\).
Прилагаме директно формулата от Синусовата теорема:
\[ R = \frac{b}{2 \sin \alpha} = \frac{8}{2 \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \cdot (1/2)} = 8 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Основата на равнобедрен триъгълник е 12 cm, а ъгълът при основата е 30°. Намерете височината към основата.
Използваме формулата \( h = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \alpha \).
\[ h = \frac{12}{2} \operatorname{tg} 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \]
Средна: Бедрото на равнобедрен триъгълник е 10 cm, а ъгълът при основата е \(\alpha\), като \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\). Намерете основата и лицето на триъгълника.
1. Намиране на основата (c):
От \(b = \frac{c}{2 \cos \alpha}\) имаме \(10 = \frac{c}{2 \cdot (4/5)} \implies 10 = \frac{c}{8/5} \implies c = 10 \cdot \frac{8}{5} = 16\) cm.
2. Намиране на лицето (S): Първо намираме \(\operatorname{tg} \alpha\). От \(\cos \alpha = 4/5\), следва \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5\). Тогава \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = 3/4\). Заместваме във формулата за лице: \(S = \frac{c^2}{4} \operatorname{tg} \alpha = \frac{16^2}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{256 \cdot 3}{16} = 16 \cdot 3 = 48\) cm².
2. Намиране на лицето (S): Първо намираме \(\operatorname{tg} \alpha\). От \(\cos \alpha = 4/5\), следва \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5\). Тогава \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = 3/4\). Заместваме във формулата за лице: \(S = \frac{c^2}{4} \operatorname{tg} \alpha = \frac{16^2}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{256 \cdot 3}{16} = 16 \cdot 3 = 48\) cm².
Трудна: Радиусът на описаната окръжност около равнобедрен триъгълник е \(R = 25\), а косинусът на ъгъла при основата е \(\cos \alpha = 0.8\). Намерете основата, бедрото и лицето на триъгълника.
Дадено е \(R = 25\) и \(\cos \alpha = 0.8 = 4/5\).
1. Намираме \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5 \] 2. Намираме бедрото (b): От Синусовата теорема: \(R = \frac{b}{2 \sin \alpha} \implies 25 = \frac{b}{2 \cdot (3/5)} \implies b = 25 \cdot \frac{6}{5} = 30\).
3. Намираме основата (c): От \(b = \frac{c}{2 \cos \alpha} \implies 30 = \frac{c}{2 \cdot (4/5)} \implies c = 30 \cdot \frac{8}{5} = 48\).
4. Намираме лицето (S): Трябва ни \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = 3/4\). \[ S = \frac{c^2}{4} \operatorname{tg} \alpha = \frac{48^2}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2304}{4} \cdot \frac{3}{4} = 576 \cdot \frac{3}{4} = 144 \cdot 3 = 432 \]
1. Намираме \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5 \] 2. Намираме бедрото (b): От Синусовата теорема: \(R = \frac{b}{2 \sin \alpha} \implies 25 = \frac{b}{2 \cdot (3/5)} \implies b = 25 \cdot \frac{6}{5} = 30\).
3. Намираме основата (c): От \(b = \frac{c}{2 \cos \alpha} \implies 30 = \frac{c}{2 \cdot (4/5)} \implies c = 30 \cdot \frac{8}{5} = 48\).
4. Намираме лицето (S): Трябва ни \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = 3/4\). \[ S = \frac{c^2}{4} \operatorname{tg} \alpha = \frac{48^2}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2304}{4} \cdot \frac{3}{4} = 576 \cdot \frac{3}{4} = 144 \cdot 3 = 432 \]
