33. Решаване На Системи Линейни Уравнения Чрез Събиране. Упражнение

1. Графично решаване

Стъпка 1: Изразяваме y от всяко уравнение

За да решим графично, трябва да преобразуваме всяко уравнение във вида \(y = kx + n\). От първото уравнение: \(3x - 2y = -1\) \(-2y = -1 - 3x\) Делим на \(-2\): \(y = \frac{-1 - 3x}{-2}\) \(y = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}x\) или \(y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\) От второто уравнение: \(x + y = 3\) Изваждаме \(x\) от двете страни: \(y = 3 - x\) Сега имаме система от две линейни функции: \[ \begin{cases} y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \\ y = 3 - x \end{cases} \]

Стъпка 2: Съставяме таблица с точки за всяка функция

За функцията \(y = 3 - x\): Избираме \(x = 0 \Rightarrow y = 3 - 0 = 3\). Точка \((0; 3)\). Избираме \(x = 3 \Rightarrow y = 3 - 3 = 0\). Точка \((3; 0)\). \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 3 \\ \hline y & 3 & 0 \\ \hline \end{array} \] За функцията \(y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\): Избираме \(x = 1 \Rightarrow y = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Точка \((1; 2)\). Избираме \(x = -1 \Rightarrow y = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} = -1\). Точка \((-1; -1)\). \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & -1 \\ \hline y & 2 & -1 \\ \hline \end{array} \]

Стъпка 3: Построяваме графиките

Начертайте правоъгълна координатна система с хоризонтална ос \(x\) и вертикална ос \(y\), пресичащи се в началото \((0,0)\). Отбележете основните числови деления по осите. За първата права \(y = 3 - x\), маркирайте точка \(A(0, 3)\) и точка \(B(3, 0)\) с малки кръгчета. Начертайте права линия \(l_1\), която минава през точките \(A\) и \(B\), продължаваща отвъд тях. Етикетирайте правата \(l_1\) с нейното уравнение \(y = 3 - x\). За втората права \(y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\), маркирайте точка \(C(1, 2)\) и точка \(D(-1, -1)\) с малки кръгчета. Начертайте права линия \(l_2\), която минава през точките \(C\) и \(D\), продължаваща отвъд тях. Етикетирайте правата \(l_2\) с нейното уравнение \(y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\). Тъй като точка \(C(1,2)\) е пресечната точка на правите \(l_1\) и \(l_2\), уверете се, че тази точка е ясно маркирана (например с по-голям кръг) и етикетирана с нейните координати \((1, 2)\).

Стъпка 4: Определяме пресечната точка

От графиката виждаме, че двете прави се пресичат в точка с координати \((1; 2)\). Следователно, решението на системата е \(x = 1\) и \(y = 2\).

2. Решаване чрез заместване

Стъпка 1: Изразяваме едно неизвестно от едното уравнение

Дадена ни е системата: \[ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \quad (1) \\ x + y = 3 \quad (2) \end{cases} \] От второто уравнение \((2)\) можем лесно да изразим \(x\) или \(y\). Нека изразим \(x\): \(x = 3 - y\)

Стъпка 2: Заместваме израза в другото уравнение

Заместваме \(x = 3 - y\) в първото уравнение \((1)\): \(3(3 - y) - 2y = -1\)

Стъпка 3: Решаваме полученото линейно уравнение

Разкриваме скобите: \(9 - 3y - 2y = -1\) Събираме подобните членове: \(9 - 5y = -1\) Изваждаме \(9\) от двете страни: \(-5y = -1 - 9\) \(-5y = -10\) Делим на \(-5\): \(y = \frac{-10}{-5}\) \(y = 2\)

Стъпка 4: Намираме стойността на другото неизвестно

Заместваме намерената стойност на \(y = 2\) в израза за \(x\) от Стъпка 1: \(x = 3 - y\) \(x = 3 - 2\) \(x = 1\)

Стъпка 5: Записваме решението

Решението на системата е наредената двойка \((1; 2)\), т.е. \(x = 1\), \(y = 2\).

3. Решаване чрез събиране

Стъпка 1: Умножаваме едното или двете уравнения така, че коефициентите пред едно от неизвестните да станат противоположни

Дадена ни е системата: \[ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \quad (1) \\ x + y = 3 \quad (2) \end{cases} \] Искаме да елиминираме едно от неизвестните. Ако умножим второто уравнение по \(2\), коефициентът пред \(y\) ще стане \(2\), което е противоположно на \(-2\) в първото уравнение. Умножаваме второто уравнение \((2)\) по \(2\): \(2 \cdot (x + y) = 2 \cdot 3\) \(2x + 2y = 6\) Сега системата изглежда така: \[ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases} \]

Стъпка 2: Събираме почленно двете уравнения

Събираме лявата страна на първото уравнение с лявата страна на второто, и дясната страна с дясната: \((3x - 2y) + (2x + 2y) = -1 + 6\) \(3x - \cancel{2y} + 2x + \cancel{2y} = 5\) \(5x = 5\)

Стъпка 3: Решаваме полученото линейно уравнение

Делим на \(5\): \(x = \frac{5}{5}\) \(x = 1\)

Стъпка 4: Намираме стойността на другото неизвестно

Заместваме намерената стойност на \(x = 1\) в едно от първоначалните уравнения. Нека използваме второто уравнение, тъй като е по-просто: \(x + y = 3\) \(1 + y = 3\) Изваждаме \(1\) от двете страни: \(y = 3 - 1\) \(y = 2\)

Стъпка 5: Записваме решението

Решението на системата е наредената двойка \((1; 2)\), т.е. \(x = 1\), \(y = 2\).

1. Графично решаване

\(y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\) \(y = 3 - x\) Решение: \((1; 2)\).

2. Чрез заместване

\(\begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ x + y = 3 \end{cases}\) \(x = 3 - y\) \(3(3 - y) - 2y = -1\) \(9 - 3y - 2y = -1\) \(-5y = -10 \Rightarrow y = 2\) \(x = 3 - 2 \Rightarrow x = 1\) Решение: \((1; 2)\).

3. Чрез събиране

\(\begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ x + y = 3 \quad |. (2) \end{cases}\) \(\begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}\) \(5x = 5 \Rightarrow x = 1\) \(1 + y = 3 \Rightarrow y = 2\) Решение: \((1; 2)\).