84. Решаване На Равнобедрен И Правоъгълен Трапец

Стъпка 1: Анализ на задачата и построяване на чертеж

Имаме равнобедрен трапец ABCD с голяма основа \(a = AB = 6\), малка основа \(b = CD = 4\) и бедра \(c = AD = BC = 5\). Трябва да намерим височината \(h\) и диагонала \(d\) на трапеца.
Начертаваме равнобедрен трапец ABCD. Върхът A е долу вляво, AB е голямата основа с дължина 6. CD е малката основа с дължина 4. Бедрата AD и BC са с дължина 5. Спускаме височина DD₁ от върха D към основата AB, така че DD₁ е перпендикулярна на AB и точка D₁ лежи на AB. Аналогично, спускаме височина CC₁ от върха C към основата AB, така че CC₁ е перпендикулярна на AB и точка C₁ лежи на AB. В резултат се образуват правоъгълник D₁C₁CD и два еднакви правоъгълни триъгълника AD₁D и BC₁C. Отсечката AD₁ е с дължина 1. Начертаваме и диагонала BD, който е означен с 'd'. След построяването на височините се образува правоъгълник D₁C₁CD и два еднакви правоъгълни триъгълника \(\triangle AD₁D\) и \(\triangle BC₁C\).

Стъпка 2: Намиране на височината на трапеца

Тъй като трапецът е равнобедрен, отсечките, които височините отсичат от голямата основа, са равни. Дължината на отсечката \(AD₁\) се намира по формулата: \[ AD₁ = \frac{AB - CD}{2} \] Заместваме с дадените стойности: \[ AD₁ = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Сега разглеждаме правоъгълния \(\triangle AD₁D\), в който \(\angle AD₁D = 90^\circ\). Неговите страни са:

• катет \(AD₁ = 1\)
• катет \(DD₁ = h\) (височината, която търсим)
• хипотенуза \(AD = 5\) (бедрото на трапеца)

Прилагаме Питагоровата теорема (\(a^2 + b^2 = c^2\)): \[ AD₁^2 + DD₁^2 = AD^2 \] \[ 1^2 + h^2 = 5^2 \] \[ 1 + h^2 = 25 \] \[ h^2 = 25 - 1 = 24 \] \[ h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \] Така намираме, че височината на трапеца е \(h = 2\sqrt{6}\).

Стъпка 3: Намиране на диагонала на трапеца

За да намерим диагонала \(d = BD\), ще разгледаме правоъгълния \(\triangle D₁BD\), в който \(\angle DD₁B = 90^\circ\). Неговите страни са:

• катет \(DD₁ = h = 2\sqrt{6}\)
• катет \(D₁B\)
• хипотенуза \(BD = d\) (диагоналът, който търсим)

Първо трябва да намерим дължината на катета \(D₁B\). Можем да го направим по два начина: 1. Като от цялата основа AB извадим отсечката \(AD₁\): \[ D₁B = AB - AD₁ = 6 - 1 = 5 \] 2. Или като използваме свойството за по-голямата отсечка, която височината отсича от основата: \[ D₁B = \frac{AB + CD}{2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] И по двата начина получаваме \(D₁B = 5\). Сега прилагаме Питагоровата теорема за \(\triangle D₁BD\): \[ DD₁^2 + D₁B^2 = BD^2 \] \[ (2\sqrt{6})^2 + 5^2 = d^2 \] \[ 24 + 25 = d^2 \] \[ d^2 = 49 \] \[ d = \sqrt{49} = 7 \] Следователно, диагоналът на трапеца е \(d = 7\).

Нека трапецът е ABCD. Спускаме височина \(DD_1 \perp AB\). \[ AD_1 = \frac{AB-CD}{2} = \frac{6-4}{2} = 1 \] От \(\triangle AD_1D\): \[ h^2 = DD_1^2 = AD^2 - AD_1^2 = 5^2 - 1^2 = 24 \Rightarrow h = 2\sqrt{6} \] \[ D_1B = AB - AD_1 = 6 - 1 = 5 \] От \(\triangle D_1BD\): \[ d^2 = BD^2 = DD_1^2 + D_1B^2 = 24 + 5^2 = 24 + 25 = 49 \Rightarrow d = 7 \]