Метод На Интервалите

Избери решение на задача:

Разлагаме полинома на множители:\[ x^3 + x^2 - 12x < 0 \]\[ x(x^2 + x - 12) < 0 \]Намираме корените на \( x^2 + x - 12 = 0 \):\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]\[ x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \]\[ x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \]Разлагаме квадратния тричлен:\[ x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3) \]Заместваме обратно в неравенството:\[ x(x+4)(x-3) < 0 \]Корените на полинома са \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 3 \). Всички са с нечетна кратност.

Нанасяме корените на числова ос:

Определяме знаците в интервалите:\[
\begin{array}{ccccccc}
\text{интервал:} & (-\infty, -4) & (-4, 0) & (0, 3) & (3, +\infty) \\
\text{знак:} & - & + & - & +
\end{array}
\]Тъй като търсим \( < 0 \), решението е обединението на интервалите със знак "-".\[ x \in (-\infty, -4) \cup (0, 3) \]

Стъпка 1: Привеждаме неравенството в основен вид
Даденото неравенство е:
\[ x^3 + x^2 - 12x < 0 \]
То вече е в основен вид, т.е. всички членове са от лявата страна, а от дясната страна е 0.

Стъпка 2: Разлагаме полинома на множители
За да приложим метода на интервалите, трябва да разложим полинома \( x^3 + x^2 - 12x \) на множители.
Първо, изнасяме общ множител \( x \):
\[ x(x^2 + x - 12) < 0 \]
Сега трябва да разложим квадратния тричлен \( x^2 + x - 12 \). За целта намираме корените на съответното квадратно уравнение \( x^2 + x - 12 = 0 \).
Използваме формулата за корени на квадратно уравнение: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), където \( D = b^2 - 4ac \).
В нашия случай \( a=1 \), \( b=1 \), \( c=-12 \).
Пресмятаме дискриминантата:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Намираме корените:
\[ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
\[ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Следователно квадратният тричлен може да бъде разложен като \( (x - x_1)(x - x_2) \):
\[ x^2 + x - 12 = (x - (-4))(x - 3) = (x + 4)(x - 3) \]
Заместваме това обратно в неравенството:
\[ x(x+4)(x-3) < 0 \]
Всички множители са от вида \( (x-a) \) и коефициентите пред \( x \) са положителни.

Стъпка 3: Намираме корените на полинома и тяхната кратност
Приравняваме всеки множител на нула, за да намерим корените:
1. \( x = 0 \)
2. \( x+4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)
3. \( x-3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
Корените са -4, 0 и 3. Всички те са с кратност 1 (нечетна кратност), тъй като се появяват по веднъж като множител.

Стъпка 4: Построяваме числова ос и определяме знаците в интервалите

Начертайте хоризонтална числова ос, простираща се отляво надясно и завършваща със стрелки в двата края, обозначаващи безкрайност. Нанесете върху нея три точки, отбелязани с отворени кръгове: -4, 0 и 3, подредени в нарастващ ред. Поставете етикети с числата '-4', '0' и '3' директно под съответните отворени кръгове. Тези точки разделят числовата ос на четири интервала: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 0) \), \( (0, 3) \) и \( (3, +\infty) \). Над всеки интервал, позициониран централно и на еднаква височина над оста, отбележете знака на произведението \( x(x+4)(x-3) \). Последователността на знаците, отдясно наляво, трябва да бъде: "+" над интервала \( (3, +\infty) \); "-" над интервала \( (0, 3) \); "+" над интервала \( (-4, 0) \); и "-" над интервала \( (-\infty, -4) \). Това редуване на знаците е резултат от факта, че всички корени са с нечетна кратност.
Нанасяме корените -4, 0 и 3 върху числовата ос.
Започваме от най-десния интервал \( (3, +\infty) \). Взимаме произволна стойност, например \( x=4 \):
\( 4(4+4)(4-3) = 4 \cdot 8 \cdot 1 = 32 > 0 \). Значи в този интервал знакът е "+".
При преминаване през корен 3 (нечетна кратност), знакът се сменя на "-". Интервалът \( (0, 3) \) е със знак "-".
При преминаване през корен 0 (нечетна кратност), знакът се сменя на "+". Интервалът \( (-4, 0) \) е със знак "+".
При преминаване през корен -4 (нечетна кратност), знакът се сменя на "-". Интервалът \( (-\infty, -4) \) е със знак "-".

Представяме знаците на числовата ос:
\[
\begin{array}{ccccccc}
\text{интервал:} & (-\infty, -4) & (-4, 0) & (0, 3) & (3, +\infty) \\
\text{знак:} & - & + & - & +
\end{array}
\]

Стъпка 5: Записваме решението
Търсим стойностите на \( x \), за които неравенството \( x(x+4)(x-3) < 0 \) е изпълнено. Това означава, че търсим интервалите, където произведението е отрицателно ("-").
Такива са интервалите \( (-\infty, -4) \) и \( (0, 3) \).
Тъй като неравенството е строго (\( < \)), корените не се включват в решението.
Обединяваме тези интервали, за да получим окончателното решение:
\[ x \in (-\infty, -4) \cup (0, 3) \]

Кратък запис на решението:

\[ x^3 + x^2 - 12x < 0 \]
\[ x(x^2 + x - 12) < 0 \]
\[ x(x+4)(x-3) < 0 \]
Корени: \( -4, 0, 3 \). Всички са нечетна кратност.

Търсим интервалите със знак "-":
\[ x \in (-\infty, -4) \cup (0, 3) \]

Най-важното от урока

Ключови стъпки: Разложете многочлена на множители, намерете корените му и ги нанесете на числовата ос.
Определяне на решението: Проверете знака на израза във всеки получен интервал и изберете тези, които отговарят на знака на неравенството.
Важно за скобите: Използвайте кръгли скоби `()` за строги неравенства ($<$, $>$) и квадратни `[]` за нестроги ($\le$, $\ge$) при корените.

Метод на интервалите е техника за решаване на неравенства от вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$, където $f(x)$ е многочлен (полином), който може да се разложи на множители.

Методът се основава на свойството, че един многочлен може да промени знака си само в точките, където стойността му е нула (неговите корени). Тези корени разделят числовата ос на интервали, във всеки от които знакът на многочлена е постоянен.

За неравенството $(x-2)(x+3) > 0$, корените са $x=2$ и $x=-3$. Те разделят числовата ос на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$ и $(2, +\infty)$. Като проверим знака във всеки интервал, можем да намерим решението.

За неравенството $(x-1)(x+2)(x-5) < 0$ кои числа разделят числовата ос на интервали?

Отговор: Числата (корените), които анулират множителите: $1$, $-2$ и $5$.

Привеждане в подходящ вид: Прехвърлете всички членове на неравенството от едната страна, така че от другата да остане 0.

Разлагане на множители: Разложете многочлена на множители от първа степен (линейни множители).

Намиране на корените: Намерете стойностите на $x$, за които всеки множител става 0.

Нанасяне върху числовата ос: Нанесете корените върху числовата ос. Те я разделят на интервали.

Определяне на знаците: Определете знака на израза във всеки интервал. Това може да стане като изберете произволна точка от интервала и я заместите в израза, или като се използва правилото за редуване на знаците (започвайки отдясно с "+", ако коефициентът пред най-високата степен на $x$ е положителен).

Записване на решението: Изберете интервалите, които удовлетворяват условието на неравенството (например, интервалите със знак "-", ако неравенството е $f(x) < 0$).

Да решим $x^3 + x^2 - 6x < 0$.
1. Разлагаме: $x(x+3)(x-2) < 0$.
2. Корените са: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
3. Нанасяме ги на числовата ос и определяме знаците: $Хоризонтална числова ос със стрелка, сочеща надясно за положителна посока. Отбележете точките -3, 0 и 2 върху числовата ос с отворени кръгчета. Поставете етикети на тези точки под оста. Над числовата ос, покажете знака на израза във всеки интервал: вдясно от точка 2 (интервал $(2, +\infty)$) поставете знак '+'; между точка 0 и точка 2 (интервал $(0, 2)$) поставете знак '-'; между точка -3 и точка 0 (интервал $(-3, 0)$) поставете знак '+'; вляво от точка -3 (интервал $(-\infty, -3)$) поставете знак '-'. Краищата на числовата ос трябва да показват $-\infty$ и $+\infty$.$
4. Търсим къде изразът е отрицателен ($< 0$). Решението е $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 2)$.

Видът на неравенството определя дали корените са включени в решението.

При строги неравенства ($<$ или $>$), корените не са част от решението и интервалите се записват с кръгли скоби ().

При нестроги неравенства ($\le$ или $\ge$), корените са част от решението и интервалите се записват с квадратни скоби [] при съответния корен.

Да разгледаме $x^2 - 9$. Корените са $-3$ и $3$.

За $x^2 - 9 > 0$, решението е $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
За $x^2 - 9 \ge 0$, решението е $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.
За $x^2 - 9 < 0$, решението е $x \in (-3; 3)$.
За $x^2 - 9 \le 0$, решението е $x \in [-3; 3]$.

Решете неравенството $(x-1)(x-4) \ge 0$.

Корените са 1 и 4. Интервалите с положителен знак са $(-\infty, 1)$ и $(4, +\infty)$. Тъй като неравенството е нестрого ($\ge$), включваме и корените.
Отговор: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.

Задачи за упражнение

Лесна: Решете неравенството $(x-6)(x+1) < 0$.

Корените са $x=6$ и $x=-1$. На числовата ос интервалът между $-1$ и $6$ е с отрицателен знак. Неравенството е строго.
Отговор: $x \in (-1, 6)$.

Средна: Решете неравенството $x^3 - 4x \ge 0$.

1. Разлагаме: $x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) \ge 0$.
2. Корените са $-2, 0, 2$.
3. Определяме знаците в интервалите: $(-\infty, -2)$ е "-", $(-2, 0)$ е "+", $(0, 2)$ е "-", $(2, +\infty)$ е "+".
4. Търсим къде е $\ge 0$. Взимаме интервалите със знак "+" и включваме корените.
Отговор: $x \in [-2, 0] \cup [2, +\infty)$.

Трудна: Намерете решенията на неравенството $x^4 - 5x^2 + 4 \le 0$.

1. Разлагаме биквадратния тричлен: $(x^2 - 1)(x^2 - 4) \le 0$.
2. Разлагаме още: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \le 0$.
3. Корените, подредени на оста, са $-2, -1, 1, 2$.
4. Знаците в интервалите отдясно наляво са: +, -, +, -, +.
5. Търсим къде е $\le 0$. Това са интервалите със знак "-", като включваме и краищата им.
Отговор: $x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$.

69. Метод На Интервалите

Избери решение на задача:

Стъпка 1: Привеждаме неравенството в основен вид

Стъпка 2: Разлагаме полинома на множители

Стъпка 3: Намираме корените на полинома и тяхната кратност

Стъпка 4: Построяваме числова ос и определяме знаците в интервалите

Стъпка 5: Записваме решението

Кратък запис на решението:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Стъпка 1: Привеждаме неравенството в основен вид

Стъпка 2: Разлагаме полинома на множители

Стъпка 3: Намираме корените на полинома и тяхната кратност

Стъпка 4: Построяваме числова ос и определяме знаците в интервалите

Стъпка 5: Записваме решението

Кратък запис на решението:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: