Най-важното от урока
Метод на заместване: Изразете една променлива от едното уравнение и я заместете в другото. Това е универсален метод. Пример: от \(x-y=1\) изразяваме \(x=y+1\).
Формули за съкратено умножение: Търсете изрази като \(x^2 \pm 2xy + y^2\), за да опростите едно от уравненията и да разделите задачата на по-лесни подсистеми. Пример: \(x^2-2xy+y^2=9 \Rightarrow (x-y)^2=9 \Rightarrow x-y=\pm3\).
Симетрични системи: За системи с \(x^2+y^2\) и \(xy\), намерете \(x+y\) и \(x-y\), за да ги сведете до няколко прости линейни системи.
Формули за съкратено умножение: Търсете изрази като \(x^2 \pm 2xy + y^2\), за да опростите едно от уравненията и да разделите задачата на по-лесни подсистеми. Пример: \(x^2-2xy+y^2=9 \Rightarrow (x-y)^2=9 \Rightarrow x-y=\pm3\).
Симетрични системи: За системи с \(x^2+y^2\) и \(xy\), намерете \(x+y\) и \(x-y\), за да ги сведете до няколко прости линейни системи.
Това е основен метод, при който едната променлива се изразява от едното уравнение (обикновено по-простото) и полученият израз се замества в другото уравнение. Така се получава уравнение само с една променлива.
Дадена е системата:
\[ \begin{array}{|l} y - x = 3 \\ xy - 3x - 2y = -5 \end{array} \]
От първото уравнение изразяваме \(y = x+3\). Заместваме във второто:
\[ x(x+3) - 3x - 2(x+3) = -5 \]
След разкриване на скобите и опростяване се получава квадратното уравнение \(x^2 - 2x - 1 = 0\), което решаваме за \(x\).
Решете системата чрез заместване:
\[ \begin{array}{|l} x = y + 2 \\ xy = 15 \end{array} \]
Заместваме \(x\) от първото уравнение във второто:
\[ (y+2)y = 15 \Rightarrow y^2 + 2y - 15 = 0 \]
Корените на квадратното уравнение са \(y_1 = 3\) и \(y_2 = -5\).
Намираме съответните стойности за \(x\):
Ако \(y_1 = 3\), то \(x_1 = 3+2 = 5\).
Ако \(y_2 = -5\), то \(x_2 = -5+2 = -3\).
Отговор: Решенията са наредените двойки \((5; 3)\) и \((-3; -5)\).
Ако \(y_1 = 3\), то \(x_1 = 3+2 = 5\).
Ако \(y_2 = -5\), то \(x_2 = -5+2 = -3\).
Отговор: Решенията са наредените двойки \((5; 3)\) и \((-3; -5)\).
Ако едно от уравненията може да се представи като формула за съкратено умножение (напр. \((ax \pm by)^2 = c\)), системата се разпада на две по-прости системи, които се решават по-лесно.
Дадена е системата:
\[ \begin{array}{|l} 4x^2 + 4xy + y^2 = 25 \\ x^2 + 2x + y = 9 \end{array} \]
Първото уравнение е тъждествено на \((2x+y)^2 = 25\). Оттук следва, че \(2x+y = 5\) или \(2x+y = -5\). Така задачата се свежда до решаване на две системи:
I система: \( \begin{array}{|l} 2x+y=5 \\ x^2+2x+y=9 \end{array} \) и II система: \( \begin{array}{|l} 2x+y=-5 \\ x^2+2x+y=9 \end{array} \)
I система: \( \begin{array}{|l} 2x+y=5 \\ x^2+2x+y=9 \end{array} \) и II система: \( \begin{array}{|l} 2x+y=-5 \\ x^2+2x+y=9 \end{array} \)
Опростете първото уравнение и посочете двете системи, на които се разпада:
\[ \begin{array}{|l} x^2 - 2xy + y^2 = 16 \\ x + 2y = 7 \end{array} \]
Първото уравнение е \((x-y)^2 = 16\), откъдето \(x-y = 4\) или \(x-y = -4\).
Система 1: \( \begin{array}{|l} x-y = 4 \\ x+2y=7 \end{array} \)
Система 2: \( \begin{array}{|l} x-y = -4 \\ x+2y=7 \end{array} \)
Система 1: \( \begin{array}{|l} x-y = 4 \\ x+2y=7 \end{array} \)
Система 2: \( \begin{array}{|l} x-y = -4 \\ x+2y=7 \end{array} \)
Симетрични системи са тези, които не се променят при размяна на местата на \(x\) и \(y\). Те често съдържат изразите \(x^2+y^2\) и \(xy\). Елегантен начин за решаването им е чрез намиране на сборовете \(x+y\) и \(x-y\).
Дадена е системата: \[ \begin{array}{|l} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{array} \]
Умножаваме второто уравнение по 2 и получаваме \(2xy = 12\).
1. Събираме \(x^2+y^2=13\) и \(2xy=12\): \[ x^2+2xy+y^2 = 13+12 \Rightarrow (x+y)^2=25 \Rightarrow x+y = \pm 5 \] 2. Изваждаме \(2xy=12\) от \(x^2+y^2=13\): \[ x^2-2xy+y^2 = 13-12 \Rightarrow (x-y)^2=1 \Rightarrow x-y = \pm 1 \] Задачата се свежда до решаване на 4 прости линейни системи.
1. Събираме \(x^2+y^2=13\) и \(2xy=12\): \[ x^2+2xy+y^2 = 13+12 \Rightarrow (x+y)^2=25 \Rightarrow x+y = \pm 5 \] 2. Изваждаме \(2xy=12\) от \(x^2+y^2=13\): \[ x^2-2xy+y^2 = 13-12 \Rightarrow (x-y)^2=1 \Rightarrow x-y = \pm 1 \] Задачата се свежда до решаване на 4 прости линейни системи.
Като използвате горния метод, намерете стойностите на \((x+y)^2\) и \((x-y)^2\) за системата:
\[ \begin{array}{|l} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{array} \]
От \(xy=3\) следва \(2xy=6\).
\((x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 10+6=16\).
\((x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 10-6=4\).
\((x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 10+6=16\).
\((x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 10-6=4\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете системата:
\[ \begin{array}{|l} y = x + 1 \\ xy = 12 \end{array} \]
Заместваме \(y\) от първото уравнение във второто:
\[ x(x+1) = 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0 \]
Корените са \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -4\).
За \(x_1=3 \Rightarrow y_1 = 3+1 = 4\).
За \(x_2=-4 \Rightarrow y_2 = -4+1 = -3\).
Отговор: \((3; 4)\) и \((-4; -3)\).
За \(x_1=3 \Rightarrow y_1 = 3+1 = 4\).
За \(x_2=-4 \Rightarrow y_2 = -4+1 = -3\).
Отговор: \((3; 4)\) и \((-4; -3)\).
Средна: Решете системата:
\[ \begin{array}{|l} x - y = 2 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{array} \]
От първото уравнение изразяваме \(x = y+2\). Заместваме във второто:
\[ (y+2)^2 + y^2 = 10 \]
\[ y^2+4y+4+y^2 = 10 \]
\[ 2y^2+4y-6 = 0 \quad |:2 \]
\[ y^2+2y-3 = 0 \]
Корените са \(y_1 = 1\) и \(y_2 = -3\).
За \(y_1=1 \Rightarrow x_1 = 1+2 = 3\).
За \(y_2=-3 \Rightarrow x_2 = -3+2 = -1\).
Отговор: \((3; 1)\) и \((-1; -3)\).
За \(y_1=1 \Rightarrow x_1 = 1+2 = 3\).
За \(y_2=-3 \Rightarrow x_2 = -3+2 = -1\).
Отговор: \((3; 1)\) и \((-1; -3)\).
Трудна: Решете системата:
\[ \begin{array}{|l} x^2+y^2=17 \\ xy=4 \end{array} \]
Това е симетрична система. От \(xy=4 \Rightarrow 2xy=8\).
1. Намираме \(x+y\): \[ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 17+8=25 \Rightarrow x+y = \pm 5 \] 2. Намираме \(x-y\): \[ (x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 17-8=9 \Rightarrow x-y = \pm 3 \] Решаваме четирите линейни системи:
1) \(\begin{array}{|l} x+y=5 \\ x-y=3 \end{array} \Rightarrow (4; 1)\)
2) \(\begin{array}{|l} x+y=5 \\ x-y=-3 \end{array} \Rightarrow (1; 4)\)
3) \(\begin{array}{|l} x+y=-5 \\ x-y=3 \end{array} \Rightarrow (-1; -4)\)
4) \(\begin{array}{|l} x+y=-5 \\ x-y=-3 \end{array} \Rightarrow (-4; -1)\)
Отговор: \((4; 1), (1; 4), (-1; -4), (-4; -1)\).
1. Намираме \(x+y\): \[ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 17+8=25 \Rightarrow x+y = \pm 5 \] 2. Намираме \(x-y\): \[ (x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 17-8=9 \Rightarrow x-y = \pm 3 \] Решаваме четирите линейни системи:
1) \(\begin{array}{|l} x+y=5 \\ x-y=3 \end{array} \Rightarrow (4; 1)\)
2) \(\begin{array}{|l} x+y=5 \\ x-y=-3 \end{array} \Rightarrow (1; 4)\)
3) \(\begin{array}{|l} x+y=-5 \\ x-y=3 \end{array} \Rightarrow (-1; -4)\)
4) \(\begin{array}{|l} x+y=-5 \\ x-y=-3 \end{array} \Rightarrow (-4; -1)\)
Отговор: \((4; 1), (1; 4), (-1; -4), (-4; -1)\).
