Най-важното от урока
Алгоритъм за решаване на квадратно неравенство \(ax^2+bx+c \lessgtr 0\):
- Намерете корените \(x_1, x_2\) на уравнението \(ax^2+bx+c=0\).
- Анализирайте знака на \(a\) и стойността на дискриминантата \(D\).
- Скицирайте параболата спрямо оста \(x\) и определете интервалите.
- \(D>0\): Ако \(a>0\), тричленът е \((+)\) извън корените и \((-)\) между тях. Пример: \(x^2 - 4 > 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)\).
- \(D=0\): Ако \(a>0\), тричленът е \((+)\) навсякъде освен в корена, където е \(0\). Пример: \((x-1)^2 \ge 0 \implies x \in \mathbb{R}\).
- \(D<0\): Ако \(a>0\), тричленът е винаги \((+)\). Пример: \(x^2+1 > 0 \implies x \in \mathbb{R}\).
Когато дискриминантата е положителна (\(D > 0\)), квадратното уравнение има два различни реални корена (\(x_1\) и \(x_2\)). Параболата пресича оста \(x\) в тези две точки.
Ако \(a > 0\), параболата е отворена нагоре. Стойностите на тричлена са положителни извън корените (\(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)) и отрицателни между тях (\(x \in (x_1, x_2)\)). Ако \(a < 0\), знаците са обратни.
Неравенството \(x^2 - 5x + 4 < 0\) има корени \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 4\). Тъй като \(a=1 > 0\), търсим интервала, в който параболата е под оста \(x\).
Решение: \(x \in (1; 4)\)
Решение: \(x \in (1; 4)\)
Решете неравенството \(x^2 - 9 > 0\).
Корените на \(x^2 - 9 = 0\) са \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\). Коефициентът \(a = 1 > 0\). Търсим стойностите, за които изразът е положителен, т.е. извън корените.
Отговор: \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\)
Отговор: \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\)
Когато дискриминантата е нула (\(D = 0\)), квадратното уравнение има един двоен корен (\(x_1 = x_2\)). Параболата се допира до оста \(x\) в тази точка.
Ако \(a > 0\), стойностите на тричлена са положителни за всяко \(x\), различно от корена, и са равни на нула при корена. Ако \(a < 0\), стойностите са отрицателни за всяко \(x\), различно от корена.
Неравенството \(x^2 - 6x + 9 > 0\), което е \((x-3)^2 > 0\), има двоен корен \(x=3\). Тъй като \(a=1>0\), изразът е положителен навсякъде, освен в точката, където е 0.
Решение: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)
Решение: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\)
Решете неравенството \(x^2 + 10x + 25 \le 0\).
Уравнението \(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 = 0\) има двоен корен \(x = -5\). Неравенството \((x+5)^2 \le 0\) е изпълнено само когато \((x+5)^2 = 0\), тъй като квадратът на реално число не може да бъде отрицателен.
Отговор: \(x = -5\)
Отговор: \(x = -5\)
Когато дискриминантата е отрицателна (\(D < 0\)), квадратното уравнение няма реални корени. Параболата е разположена изцяло над или изцяло под оста \(x\).
Знакът на квадратния тричлен е постоянен за всяко \(x\) и съвпада със знака на коефициента \(a\). Ако \(a > 0\), тричленът е винаги положителен. Ако \(a < 0\), тричленът е винаги отрицателен.
За неравенството \(x^2 - 3x + 5 > 0\) имаме \(D = -11 < 0\) и \(a=1 > 0\). Тъй като \(a > 0\), квадратният тричлен е винаги положителен.
Решение: Всяко реално число е решение, \(x \in (-\infty; +\infty)\).
Решение: Всяко реално число е решение, \(x \in (-\infty; +\infty)\).
Решете неравенството \(x^2 + x + 1 < 0\).
Дискриминантата е \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\). Коефициентът \(a = 1 > 0\). Следователно, изразът \(x^2+x+1\) е винаги положителен. Неравенството иска той да е отрицателен, което е невъзможно.
Отговор: Няма решение, \(x \in \emptyset\).
Отговор: Няма решение, \(x \in \emptyset\).
За да се реши система от неравенства, трябва да се намери решението на всяко неравенство поотделно и след това да се намери сечението (общата част) на техните решения.
Решете първото неравенство и представете решението му като интервал(и).
Решете второто неравенство и представете решението му като интервал(и).
Нанесете интервалите от двете решения на една числова ос и намерете тяхната обща част (сечение).
Решете системата \(\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 - 5x \le 0 \end{cases}\)
1. Решението на \(x^2 - 6x + 8 > 0\) е \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\).
2. Решението на \(x^2 - 5x \le 0\) е \(x \in [0; 5]\).
3. Сечението на двата интервала е общото решение.![{Числова ос, показваща сечението на интервалите ((-\(\infty\); 2) \(\cup\) (4; +\(\infty\))) и [0; 5]. Общата част е маркирана.}](https://domashno.bg/get_image/9fdbe215-4163-45f6-b50e-198e5547dc54?timestamp=1757681646)
Решение: \(x \in [0; 2) \cup (4; 5]\)
1. Решението на \(x^2 - 6x + 8 > 0\) е \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\).
2. Решението на \(x^2 - 5x \le 0\) е \(x \in [0; 5]\).
3. Сечението на двата интервала е общото решение.
Решете системата \(\begin{cases} x^2 > 4 \\ x^2 - 5x + 6 \le 0 \end{cases}\)
1. От \(x^2 > 4 \implies x^2 - 4 > 0\), намираме корени \(\pm 2\). Решението е \(x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\).
2. За \(x^2 - 5x + 6 \le 0\) корените са 2 и 3. Решението е \(x \in [2; 3]\).
3. Търсим сечението на \((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) и \([2; 3]\). Общата част е \((2; 3]\).
Отговор: \(x \in (2; 3]\).
2. За \(x^2 - 5x + 6 \le 0\) корените са 2 и 3. Решението е \(x \in [2; 3]\).
3. Търсим сечението на \((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\) и \([2; 3]\). Общата част е \((2; 3]\).
Отговор: \(x \in (2; 3]\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \(x^2 - 25 \le 0\).
Корените на \(x^2 - 25 = 0\) са \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 5\). Тъй като \(a=1>0\) и търсим стойности \(\le 0\), решението е интервалът между корените, включително и самите тях.
Отговор: \(x \in [-5; 5]\)
Отговор: \(x \in [-5; 5]\)
Средна: Решете неравенството \(-x^2 + 8x - 16 < 0\).
Умножаваме по \(-1\) и обръщаме знака: \(x^2 - 8x + 16 > 0\).
Това е \((x-4)^2 > 0\). Уравнението има двоен корен \(x=4\).
Неравенството е изпълнено за всяко \(x\), освен за \(x=4\), където изразът е равен на 0.
Отговор: \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)\)
Това е \((x-4)^2 > 0\). Уравнението има двоен корен \(x=4\).
Неравенството е изпълнено за всяко \(x\), освен за \(x=4\), където изразът е равен на 0.
Отговор: \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)\)
Трудна: Решете системата неравенства \(\begin{cases} x^2 - x - 12 > 0 \\ x^2 - 7x + 10 \ge 0 \end{cases}\).
1. За \(x^2 - x - 12 > 0\), корените са \(-3\) и \(4\). Решението е \(x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)\).
2. За \(x^2 - 7x + 10 \ge 0\), корените са \(2\) и \(5\). Решението е \(x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)\).
3. Засичаме двете решения на числова ос. Общата част е \((-\infty; -3) \cup [5; +\infty)\).
Отговор: \(x \in (-\infty; -3) \cup [5; +\infty)\)
2. За \(x^2 - 7x + 10 \ge 0\), корените са \(2\) и \(5\). Решението е \(x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)\).
3. Засичаме двете решения на числова ос. Общата част е \((-\infty; -3) \cup [5; +\infty)\).
Отговор: \(x \in (-\infty; -3) \cup [5; +\infty)\)
