Най-важното от урока
Корен от степен: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Пример: \(\sqrt{(-9)^2} = |-9|=9\).
Корен от произведение: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) (за \(a,b \ge 0\)). Пример: \(\sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10\).
Корен от частно: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (за \(a \ge 0, b > 0\)). Пример: \(\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}\).
Важно: Първо се извършва събиране/изваждане под корена: \(\sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\).
Корен от произведение: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) (за \(a,b \ge 0\)). Пример: \(\sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10\).
Корен от частно: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (за \(a \ge 0, b > 0\)). Пример: \(\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}\).
Важно: Първо се извършва събиране/изваждане под корена: \(\sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\).
За всяко реално число \(a\), квадратният корен от неговата втора степен е равен на абсолютната стойност на числото.
\[ \sqrt{a^2} = |a| \]
Пресмятане на \(\sqrt{(-7)^2}\):
\(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7\).
Също така, според правилото: \(\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7\).
\(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7\).
Също така, според правилото: \(\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7\).
Пресметнете стойността на израза \(\sqrt{(-15)^2}\).
\(\sqrt{(-15)^2} = |-15| = 15\).
Ако \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\), квадратният корен от произведение е равен на произведението от квадратните корени на множителите.
\[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \]
Пресмятане на \(\sqrt{16 \cdot 81}\):
\(\sqrt{16 \cdot 81} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} = 4 \cdot 9 = 36\).
\(\sqrt{16 \cdot 81} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{81} = 4 \cdot 9 = 36\).
Пресметнете \(\sqrt{8 \cdot 18}\).
Разлагаме множителите, за да намерим точни квадрати:
\(\sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (9 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12\).
\(\sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (9 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12\).
Ако \(a \ge 0\) и \(b > 0\), квадратният корен от частно е равен на частното от квадратните корени на делимото и делителя.
\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]
Пресмятане на \(\sqrt{\frac{25}{144}}\):
\(\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12}\).
\(\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12}\).
Пресметнете \(\sqrt{\frac{50}{72}}\).
Първо съкращаваме дробта под корена: \(\frac{50}{72} = \frac{25 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{25}{36}\).
След това коренуваме: \(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}\).
След това коренуваме: \(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}\).
Няма правила за коренуване на сбор или разлика! Винаги първо се извършват действията събиране или изваждане под знака на корена.
Сравнете \(\sqrt{10^2 - 6^2}\) и \(10 - 6\).
1. \(\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\).
2. \(10 - 6 = 4\).
Следователно \(\sqrt{10^2 - 6^2} > 10 - 6\), защото \(8 > 4\).
1. \(\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\).
2. \(10 - 6 = 4\).
Следователно \(\sqrt{10^2 - 6^2} > 10 - 6\), защото \(8 > 4\).
Вярно ли е равенството \(\sqrt{9+16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}\)?
Лява страна: \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\).
Дясна страна: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Тъй като \(5 \neq 7\), равенството не е вярно.
Дясна страна: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
Тъй като \(5 \neq 7\), равенството не е вярно.
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(\sqrt{36 \cdot 121}\).
\(\sqrt{36 \cdot 121} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{121} = 6 \cdot 11 = 66\).
Средна: Пресметнете стойността на израза \(\sqrt{\frac{192}{363}}\).
Съкращаваме дробта, като разложим числителя и знаменателя:
\(192 = 3 \cdot 64\)
\(363 = 3 \cdot 121\)
\(\sqrt{\frac{192}{363}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 121}} = \sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}} = \frac{8}{11}\).
\(192 = 3 \cdot 64\)
\(363 = 3 \cdot 121\)
\(\sqrt{\frac{192}{363}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 121}} = \sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}} = \frac{8}{11}\).
Трудна: Като разложите числото 6084 на прости множители, пресметнете \(\sqrt{6084}\).
Разлагаме числото 6084 на прости множители: \(6084 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2\).
Тогава: \(\sqrt{6084} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{13^2} = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 78\).
Тогава: \(\sqrt{6084} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{13^2} = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 78\).
