27. Средна отсечка (основа) на трапец. Упражнение

Стъпка 1: Начертаване на трапеца и анализ на допълнителното построение

Начертайте трапец ABCD. Голямата основа AB е в долната част, а малката основа CD е в горната част, като AB е успоредна на CD. Позиционирайте върха A в долния ляв ъгъл, B в долния десен, D в горния ляв и C в горния десен, така че точките да образуват трапец в посока обратна на часовниковата стрелка. Отбележете M като средата на бедрото AD и N като средата на бедрото BC. Начертайте средната отсечка MN, свързваща M и N, и я етикетирайте с дължина '10 cm'. Постройте отсечка CP, така че да започва от върха C и да е успоредна на бедрото AD. Точка P трябва да лежи на отсечката AB, между A и B. Етикетирайте отсечката BP с дължина '2 cm'. Осигурете, че четириъгълникът APCD е ясно видим като успоредник, което означава, че отсечката AP е равна по дължина на отсечката CD. Всички върхове (A, B, C, D) и точки (M, N, P) да са ясно обозначени. Разглеждаме четириъгълника \( APCD \). По условие \( ABCD \) е трапец, което означава, че основите му са успоредни: \( AB \parallel CD \). Тъй като точка \( P \) лежи на правата \( AB \), следва, че и \( AP \parallel CD \). От допълнителното построение знаем, че \( CP \parallel AD \). Тъй като четириъгълникът \( APCD \) има две двойки успоредни срещуположни страни, той е успоредник.

Стъпка 2: Използване на свойствата на успоредника за изразяване на основите

Едно от основните свойства на успоредника е, че срещуположните му страни са с равни дължини. От това, че \( APCD \) е успоредник, следва, че: \[ AP = CD \] Нека да означим дължината на малката основа \( CD \) с \( x \). Тогава и \( AP = x \). Голямата основа \( AB \) е сбор от дължините на отсечките \( AP \) и \( PB \). \[ AB = AP + PB \] Заместваме с \( AP = x \) и дадената по условие дължина \( BP = 2 \text{ cm} \): \[ AB = x + 2 \]

Стъпка 3: Прилагане на формулата за средна отсечка на трапец

Дължината на средната отсечка в трапец е равна на половината от сбора на дължините на двете основи. Формулата е: \[ MN = \frac{AB + CD}{2} \] Знаем, че \( MN = 10 \text{ cm} \), а от предишната стъпка изразихме основите чрез \( x \): \( AB = x + 2 \) и \( CD = x \). Заместваме тези стойности във формулата: \[ 10 = \frac{(x + 2) + x}{2} \]

Стъпка 4: Решаване на уравнението за намиране на \( x \)

Сега ще решим полученото уравнение, за да намерим стойността на \( x \), която представлява дължината на малката основа. \[ 10 = \frac{2x + 2}{2} \] Умножаваме двете страни на уравнението по 2: \[ 10 \cdot 2 = 2x + 2 \] \[ 20 = 2x + 2 \] Прехвърляме 2 от дясната страна наляво (със знак минус): \[ 20 - 2 = 2x \] \[ 18 = 2x \] Накрая, разделяме двете страни на 2: \[ x = \frac{18}{2} \] \[ x = 9 \text{ cm} \]

Стъпка 5: Изчисляване на дължините на основите на трапеца

След като намерихме \( x \), можем да изчислим дължините на двете основи. Дължината на малката основа \( CD \) е равна на \( x \): \[ CD = 9 \text{ cm} \] Дължината на голямата основа \( AB \) е равна на \( x + 2 \): \[ AB = 9 + 2 = 11 \text{ cm} \] Така основите на трапеца са с дължини \( 11 \text{ cm} \) и \( 9 \text{ cm} \).

От \( AP \| CD \) и \( CP \| AD \Rightarrow APCD \) е успоредник. Следователно \( AP = CD = x \). Тогава \( AB = AP + PB = x + 2 \). От формулата за средна отсечка: \( MN = \frac{AB + CD}{2} \Rightarrow 10 = \frac{(x+2) + x}{2} \) \( 20 = 2x + 2 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9 \). \( CD = 9 \text{ cm} \) \( AB = 9 + 2 = 11 \text{ cm} \)