53. Взаимни положения на права и окръжност

Стъпка 1: Определяне на стратегията за решаване на задачата

За да намерим броя на общите точки на правата \( AB \) и всяка от дадените окръжности, трябва да сравним разстоянието от центъра на окръжностите (точка \( C \)) до правата \( AB \) с техните радиуси. Нека означим това разстояние с \( d \). Разстоянието от точка до права се измерва с дължината на перпендикуляра от точката към правата. Начертаваме правоъгълен триъгълник \(ABC\) с прав ъгъл при върха \(C\). Означаваме \( \angle ABC = 30^{\circ} \) и катета \(BC=8\). От върха \(C\) спускаме перпендикуляр \(CD\) към хипотенузата \(AB\), като точка \(D\) лежи на \(AB\). Следователно, трябва да намерим дължината на височината \( CD \) в \( \triangle ABC \), тоест \( d = CD \).

Стъпка 2: Изчисляване на разстоянието от точка C до правата AB

Разглеждаме триъгълника \( \triangle BDC \). По построение \( CD \perp AB \), следователно \( \angle CDB = 90^{\circ} \). От условието на задачата знаем, че \( \angle ABC = 30^{\circ} \), което означава, че и \( \angle DBC = 30^{\circ} \). Триъгълник \( \triangle BDC \) е правоъгълен с остър ъгъл от \( 30^{\circ} \). Използваме свойството на правоъгълен триъгълник с ъгъл \( 30^{\circ} \): катетът, лежащ срещу ъгъл от \( 30^{\circ} \), е равен на половината от хипотенузата. В \( \triangle BDC \) катетът срещу ъгъла от \( 30^{\circ} \) е \( CD \), а хипотенузата е \( BC \). Следователно можем да запишем: \[ d = CD = \frac{1}{2} BC \] Като заместим с дадената стойност \( BC = 8 \), получаваме: \[ d = CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \] Така намерихме, че разстоянието от центъра \( C \) до правата \( AB \) е \( 4 \).

Стъпка 3: Определяне на броя на общите точки за всяка окръжност

Сега ще сравним полученото разстояние \( d=4 \) с радиусите на двете окръжности, за да определим тяхното взаимно положение с правата \( AB \).

а) Окръжност \( k_{1}(C, r_{1}=5) \)

Радиусът на тази окръжност е \( r_{1} = 5 \). Сравняваме разстоянието \( d \) с радиуса \( r_{1} \): \[ d = 4 \quad \text{и} \quad r_{1} = 5 \] Виждаме, че \( 4 < 5 \), тоест \( d < r_{1} \). Когато разстоянието от центъра на окръжността до правата е по-малко от радиуса, правата пресича окръжността в две различни точки (нарича се секуща). Следователно, правата \( AB \) и окръжността \( k_{1} \) имат 2 общи точки.

б) Окръжност \( k_{2}(C, r_{2}=3) \)

Радиусът на тази окръжност е \( r_{2} = 3 \). Сравняваме разстоянието \( d \) с радиуса \( r_{2} \): \[ d = 4 \quad \text{и} \quad r_{2} = 3 \] Виждаме, че \( 4 > 3 \), тоест \( d > r_{2} \). Когато разстоянието от центъра на окръжността до правата е по-голямо от радиуса, правата и окръжността нямат общи точки (правата е външна за окръжността). Следователно, правата \( AB \) и окръжността \( k_{2} \) нямат общи точки.

Нека \( d \) е разстоянието от \( C \) до правата \( AB \). \( d \) е дължината на височината \( CD \) към хипотенузата \( AB \). В правоъгълния \( \triangle BDC \) (\( \angle CDB = 90^{\circ} \)) имаме \( \angle B = 30^{\circ} \). \[ d = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{8}{2} = 4 \] а) \( d=4 < r_1=5 \Rightarrow \) 2 общи точки. б) \( d=4 > r_2=3 \Rightarrow \) 0 общи точки.