Най-важното от урока
Ключови изводи: Преобразуването на рационални изрази следва строги стъпки.
- Ред на действия: Винаги започвайте от скобите, после умножение/деление, накрая събиране/изваждане.
- Общ знаменател: За събиране и изваждане е задължително. Пример: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab} \).
- Деление: Превръща се в умножение по реципрочната дроб. Пример: \( \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} \).
- Факторизиране: Разлагайте на множители числители и знаменатели, за да съкращавате лесно. Пример: \( \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \).
- Допустими стойности (ДС): Винаги се съобразявайте със стойностите, които правят знаменателя нула.
При преобразуването на дробни рационални изрази се спазва същият ред на действията, както при числовите изрази: първо се извършват действията в скобите, след това умножение и деление, и накрая събиране и изваждане.
Извършете действията в скобите.
Извършете умножението и делението (отляво надясно).
Извършете събирането и изваждането.
Да опростим израза \( A = \left( \frac{x}{y} + 1 \right) \cdot \frac{y^2}{x+y} \).
- Действие в скобите: \( \frac{x}{y} + 1 = \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = \frac{x+y}{y} \)
- Умножение: \( \frac{x+y}{y} \cdot \frac{y^2}{x+y} \)
- Съкращаване: \( \frac{\cancel{(x+y)}}{\cancel{y}} \cdot \frac{y^{\cancel{2}}}{\cancel{(x+y)}} = y \)
Опростете израза \( \left( 2 + \frac{a}{b} \right) : \frac{2b+a}{b^2} \).
\( \left( \frac{2b}{b} + \frac{a}{b} \right) : \frac{2b+a}{b^2} = \frac{2b+a}{b} \cdot \frac{b^2}{2b+a} = b \).
ДС: \( b \neq 0, a \neq -2b \).
ДС: \( b \neq 0, a \neq -2b \).
За да съберем или извадим две рационални дроби, първо ги привеждаме под общ знаменател (обикновено най-малък общ знаменател), след което събираме или изваждаме получените числители.
Да опростим израза \( \frac{3}{x-2} - \frac{2x}{x^2-4} \).
1. Разлагаме знаменателите на множители: \(x-2\) и \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\).
2. Най-малкият общ знаменател (НОЗ) е \((x-2)(x+2)\).
3. Разширяваме дробите и извършваме изваждането:
\[ \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x+6-2x}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+6}{x^2-4} \] При ДС: \( x \neq \pm 2 \).
Опростете израза \( \frac{a}{a-b} + \frac{b}{a+b} \).
НОЗ е \((a-b)(a+b)\).
\[ \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+ab-b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab-b^2}{a^2-b^2} \]
При ДС: \( a \neq \pm b \).
Умножение: Умножаваме числителите и знаменателите. Деление: Умножаваме първата дроб с реципрочната на втората. Винаги търсете възможност за съкращаване на общи множители преди умножението.
Да опростим израза \( \frac{x^2-9}{x+1} : \frac{x+3}{x^2-1} \).
1. Преобразуваме делението в умножение с реципрочната дроб:
\[ \frac{x^2-9}{x+1} \cdot \frac{x^2-1}{x+3} \]2. Разлагаме числителите и знаменателите на множители:
\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x+1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \]3. Съкращаваме общите множители \((x+3)\) и \((x+1)\):
\[ \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+3}} = (x-3)(x-1) = x^2-4x+3 \] При ДС: \( x \neq -1, x \neq -3 \).
Опростете израза \( \frac{a^2-b^2}{3a} \cdot \frac{6a^2}{a+b} \).
\[ \frac{(a-b)(a+b)}{3a} \cdot \frac{6a^2}{a+b} = \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{3a}} \cdot \frac{2a \cdot \cancel{3a}}{\cancel{a+b}} = (a-b) \cdot 2a = 2a^2 - 2ab \]
При ДС: \( a \neq 0, a \neq -b \).
Допустимите стойности на един рационален израз са всички стойности на променливите, за които знаменателите в израза не стават равни на нула. Винаги определяйте ДС от първоначалния вид на израза.
За израза \( A = \left( \frac{x}{x-1} - 1 \right) : \frac{1}{x^2-1} \), знаменателите са \(x-1\) и \(x^2-1\).
От \(x-1 \neq 0\) следва \(x \neq 1\).
От \(x^2-1 \neq 0\), т.е. \((x-1)(x+1) \neq 0\), следва \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\).
Също така, при деление, делителят \(\frac{1}{x^2-1}\) не трябва да е 0, което е изпълнено за всяко \(x\).
ДС: \(x \neq \pm 1\).
От \(x-1 \neq 0\) следва \(x \neq 1\).
От \(x^2-1 \neq 0\), т.е. \((x-1)(x+1) \neq 0\), следва \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\).
Също така, при деление, делителят \(\frac{1}{x^2-1}\) не трябва да е 0, което е изпълнено за всяко \(x\).
ДС: \(x \neq \pm 1\).
Намерете допустимите стойности за израза \( \frac{5}{x} + \frac{x-1}{x-3} \).
Знаменателят \(x\) не трябва да е 0, т.е. \(x \neq 0\).
Знаменателят \(x-3\) не трябва да е 0, т.е. \(x \neq 3\).
ДС: \(x \neq 0, x \neq 3\).
Знаменателят \(x-3\) не трябва да е 0, т.е. \(x \neq 3\).
ДС: \(x \neq 0, x \neq 3\).
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \( \frac{x^2-4}{5x} \cdot \frac{10}{x-2} \).
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{5x} \cdot \frac{10}{x-2} = \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{5x}} \cdot \frac{2 \cdot \cancel{5}}{\cancel{x-2}} = \frac{2(x+2)}{x} \]
ДС: \( x \neq 0, x \neq 2 \).
Средна: Преобразувайте в рационална дроб израза \( \frac{x}{x-2} - \frac{x^2+8}{x^2-4} \).
НОЗ е \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\).
\[ \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x^2+8}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+2x - (x^2+8)}{x^2-4} = \frac{x^2+2x-x^2-8}{x^2-4} = \frac{2x-8}{x^2-4} = \frac{2(x-4)}{(x-2)(x+2)} \]
ДС: \( x \neq \pm 2 \).
Трудна: Опростете израза \( A = \left(\frac{x}{x-1} - \frac{x}{x+1}\right) : \frac{2x}{x^2-1} \) и намерете числената му стойност за \( x = 2024 \).
1. Опростяваме израза в скобите:
\[ \frac{x(x+1) - x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x - (x^2-x)}{x^2-1} = \frac{x^2+x-x^2+x}{x^2-1} = \frac{2x}{x^2-1} \]
2. Извършваме делението:
\[ A = \frac{2x}{x^2-1} : \frac{2x}{x^2-1} = 1 \]
3. Числената стойност. Тъй като изразът е тъждествено равен на 1 за всички допустими стойности, а \(x=2024\) е допустима стойност (\(2024 \neq \pm 1, 2024 \neq 0\)), то стойността на израза е 1.
Отговор: \(A=1\).
Отговор: \(A=1\).
