Най-важното от урока
Ключови изводи: Моделирането на текстови задачи с дробни уравнения изисква внимателно определяне на неизвестното и зависимостите.
- Задачи от движение: Винаги използвайте \(t = \frac{S}{V}\). Уравнението най-често се получава от сравняване на времената (\(t_1 = t_2 \pm \Delta t\)).
- Задачи от работа: Цялата работа е 1. Производителността е \(P = \frac{1}{t_{\text{цяла работа}}}\). Уравнението се получава от сбора на свършените части: \(A_1 + A_2 = 1\).
- Задачи по вода: Помнете да добавяте (\(V_{\text{сп.вода}} + V_{\text{течение}}\)) или изваждате (\(V_{\text{сп.вода}} - V_{\text{течение}}\)) скоростта на течението.
- Проверка: Винаги проверявайте дали получените корени отговарят на дефиниционното множество (ДС). Скорост, време, разстояние и норма не могат да бъдат отрицателни.
Избор на неизвестно: Определете коя величина ще означите с \(x\).
Дефиниционно множество (ДС): Запишете всички ограничения за \(x\) (например скорост, време и разстояние трябва да са положителни числа: \(x > 0\)).
Дефиниционно множество (ДС): Запишете всички ограничения за \(x\) (например скорост, време и разстояние трябва да са положителни числа: \(x > 0\)).
Организиране на данните: Използвайте таблица, за да представите всички данни от условието.
Намиране на зависимост: Открийте връзката между величините, за да съставите уравнение. Това обикновено е равенство, свързващо времена, разстояния, части от работа и т.н.
Намиране на зависимост: Открийте връзката между величините, за да съставите уравнение. Това обикновено е равенство, свързващо времена, разстояния, части от работа и т.н.
Решаване на уравнението: Намерете корените на съставеното уравнение.
Проверка с ДС: Проверете кои от получените корени принадлежат на дефиниционното множество.
Проверка с ДС: Проверете кои от получените корени принадлежат на дефиниционното множество.
Тълкуване на резултата: Използвайте намерения корен, за да отговорите на въпроса, поставен в задачата.
При задачи от движение се използват зависимостите между път (\(S\)), скорост (\(V\)) и време (\(t\)).
\[ S = V \cdot t \quad \implies \quad t = \frac{S}{V} \quad \implies \quad V = \frac{S}{t} \]
Задача: Двама туристи – Ангел и Иван, изминали съответно 24 km и 28 km. Ангел вървял 3 часа по-малко от Иван и се движил с 2 km/h по-бързо от него. Намерете скоростите им.
Решение: 1. Нека скоростта на Иван е \(V_{Иван} = x\) km/h. Тогава скоростта на Ангел е \(V_{Ангел} = x+2\) km/h. ДС: \(x > 0\).
2. Зависимостта е \(t_{Иван} = t_{Ангел} + 3\).
\[ \frac{28}{x} = \frac{24}{x+2} + 3 \]
3. Решението на уравнението, което е в ДС, е \(x=4\).
4. Отговор: Скоростта на Иван е 4 km/h, а на Ангел е \(4+2=6\) km/h.
Решение: 1. Нека скоростта на Иван е \(V_{Иван} = x\) km/h. Тогава скоростта на Ангел е \(V_{Ангел} = x+2\) km/h. ДС: \(x > 0\).
Автомобил изминава разстояние от 240 km. Ако увеличи скоростта си с 20 km/h, ще измине разстоянието за 1 час по-бързо. Намерете първоначалната скорост на автомобила.
1. Нека първоначалната скорост е \(x\) km/h. ДС: \(x>0\).
2. Времето по план е \(t_1 = \frac{240}{x}\). Времето с увеличена скорост е \(t_2 = \frac{240}{x+20}\).
3. Зависимостта е \(t_1 = t_2 + 1 \implies \frac{240}{x} = \frac{240}{x+20} + 1\).
4. След преобразуване получаваме квадратното уравнение \(x^2 + 20x - 4800 = 0\), чиито корени са \(x_1 = 60\) и \(x_2 = -80\).
5. От ДС следва, че решението е \(x=60\).
Отговор: Първоначалната скорост е 60 km/h.
Отговор: Първоначалната скорост е 60 km/h.
При задачи от работа се използват зависимостите между свършена работа (\(A\)), производителност (\(P\)) и време (\(t\)). Цялата работа се приема за 1.
\[ A = P \cdot t \quad \implies \quad P = \frac{A}{t} \]
Ако един работник свършва цялата работа за \(x\) дни, неговата производителност за 1 ден е \(P = \frac{1}{x}\).
Задача: Един работник може да извърши работа за 4 дни повече от втори. Ако първият работи 7 дни, а вторият се включи 2 дни след него (т.е. работи 5 дни), те заедно ще свършат цялата работа. За колко дни всеки може сам да свърши работата?
Решение: 1. Нека II работник свършва работата за \(x\) дни. Тогава I я свършва за \(x+4\) дни. ДС: \(x>0\).
2. Зависимостта е: (работа на I) + (работа на II) = 1 (цялата работа).
\[ \frac{7}{x+4} + \frac{5}{x} = 1 \]
3. Решението на уравнението, което е в ДС, е \(x=10\).
4. Отговор: Вторият работник свършва работата за 10 дни, а първият за \(10+4=14\) дни.
Решение: 1. Нека II работник свършва работата за \(x\) дни. Тогава I я свършва за \(x+4\) дни. ДС: \(x>0\).
Една тръба пълни басейн за 6 часа, а друга - за 3 часа. За колко часа двете тръби заедно ще напълнят басейна?
1. Нека времето за съвместна работа е \(x\) часа. ДС: \(x>0\).
2. Производителността на първата тръба е \(\frac{1}{6}\), а на втората \(\frac{1}{3}\).
3. За \(x\) часа първата ще свърши \(\frac{x}{6}\) работа, а втората \(\frac{x}{3}\).
4. Зависимостта е \(\frac{x}{6} + \frac{x}{3} = 1\).
5. \(x+2x=6 \implies 3x=6 \implies x=2\).
Отговор: Двете тръби заедно ще напълнят басейна за 2 часа.
Отговор: Двете тръби заедно ще напълнят басейна за 2 часа.
При движение по вода (река), скоростта на течението влияе на скоростта на обекта.
\[ V_{\text{по течението}} = V_{\text{сп. вода}} + V_{\text{течение}} \]
\[ V_{\text{срещу течението}} = V_{\text{сп. вода}} - V_{\text{течение}} \]
Задача: Лодка изминава 64 km по течението и 56 km срещу течението за общо 4 часа. Скоростта на течението е 2 km/h. Намерете скоростта на лодката в спокойна вода.
Решение: 1. Нека скоростта в спокойна вода е \(x\) km/h. ДС: \(x > V_{\text{течение}} \implies x > 2\).
2. Зависимостта е \(t_{\text{по течението}} + t_{\text{срещу течението}} = 4\).
\[ \frac{64}{x+2} + \frac{56}{x-2} = 4 \]
3. Решението на уравнението, което е в ДС, е \(x=30\).
4. Отговор: Скоростта на лодката в спокойна вода е 30 km/h.
Решение: 1. Нека скоростта в спокойна вода е \(x\) km/h. ДС: \(x > V_{\text{течение}} \implies x > 2\).
Катер изминава 22 km по течението и 18 km срещу течението за общо 2 часа. Скоростта на течението е 2 km/h. Намерете скоростта на катера в спокойна вода.
1. Нека скоростта в спокойна вода е \(x\) km/h. ДС: \(x>2\).
2. Скоростта по течението е \(x+2\), а срещу течението е \(x-2\).
3. Времената са съответно \(t_1 = \frac{22}{x+2}\) и \(t_2 = \frac{18}{x-2}\).
4. Уравнението е \(\frac{22}{x+2} + \frac{18}{x-2} = 2\).
5. След преобразуване се получава \(2x^2 - 40x = 0 \implies 2x(x-20)=0\). Корените са \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 20\).
6. От ДС следва, че решението е \(x=20\).
Отговор: Скоростта на катера в спокойна вода е 20 km/h.
Отговор: Скоростта на катера в спокойна вода е 20 km/h.
Задачи за упражнение
Лесна: Намислих положително число. Увеличих го с 5, разделих сбора на 3 и получих същото число. Кое число съм намислил?
1. Нека числото е \(x\). ДС: \(x>0\).
2. Уравнението е \(\frac{x+5}{3} = x\).
3. \(x+5 = 3x \implies 2x = 5 \implies x = 2,5\).
4. \(2,5 > 0\), така че е решение.
Отговор: Намисленото число е 2,5.
Отговор: Намисленото число е 2,5.
Средна: За да изпълни една поръчка в срок, цех трябвало да произвежда по 60 детайла на ден. Цехът произвеждал по 15 детайла повече на ден и изпълнил поръчката 2 дни предсрочно, като произвел и 30 детайла в повече. Колко детайла е трябвало да произведе цехът по план?
1. Нека плановият брой дни е \(x\). ДС: \(x>0\).
2. Планирана работа: \(A_{план} = 60 \cdot x\) детайла.
3. Действителна работа: цехът е работил \(x-2\) дни с норма \(60+15=75\) детайла/ден. Произвел е \(A_{действ.} = 75(x-2)\) детайла.
4. Зависимостта е \(A_{действ.} = A_{план} + 30\).
5. \(75(x-2) = 60x + 30 \implies 75x - 150 = 60x + 30 \implies 15x = 180 \implies x=12\) дни.
6. Плановият брой детайли е \(A_{план} = 60 \cdot 12 = 720\).
Отговор: Цехът е трябвало да произведе 720 детайла.
Отговор: Цехът е трябвало да произведе 720 детайла.
Трудна: Двама туристи тръгват едновременно от хижа А за хижа В. Първият се движи със скорост с 1 km/h по-голяма от скоростта на втория и пристига в хижа В 1 час по-рано. Намерете скоростите на туристите, ако разстоянието между хижите е 20 km.
1. Нека скоростта на втория турист е \(x\) km/h. Тогава скоростта на първия е \(x+1\) km/h. ДС: \(x>0\).
2. Времето на втория турист е \(t_2 = \frac{20}{x}\), а на първия е \(t_1 = \frac{20}{x+1}\).
3. Първият пристига 1 час по-рано, следователно неговото време е по-малко. Зависимостта е \(t_2 - t_1 = 1\).
4. Съставяме и решаваме уравнението: \[ \frac{20}{x} - \frac{20}{x+1} = 1 \] Привеждаме под общ знаменател \(x(x+1)\): \[ 20(x+1) - 20x = x(x+1) \] \[ 20x + 20 - 20x = x^2 + x \] \[ x^2 + x - 20 = 0 \] Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -5\).
5. От ДС (\(x>0\)) следва, че единственото решение е \(x=4\).
Отговор: Скоростта на втория турист е 4 km/h, а на първия е 5 km/h.
2. Времето на втория турист е \(t_2 = \frac{20}{x}\), а на първия е \(t_1 = \frac{20}{x+1}\).
3. Първият пристига 1 час по-рано, следователно неговото време е по-малко. Зависимостта е \(t_2 - t_1 = 1\).
4. Съставяме и решаваме уравнението: \[ \frac{20}{x} - \frac{20}{x+1} = 1 \] Привеждаме под общ знаменател \(x(x+1)\): \[ 20(x+1) - 20x = x(x+1) \] \[ 20x + 20 - 20x = x^2 + x \] \[ x^2 + x - 20 = 0 \] Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -5\).
5. От ДС (\(x>0\)) следва, че единственото решение е \(x=4\).
Отговор: Скоростта на втория турист е 4 km/h, а на първия е 5 km/h.
