91. Централна симетрия

Централната симетрия \(S_O\) спрямо център \(O\) е геометрично преобразувание, при което на всяка точка \(A\) се съпоставя точка \(A'\) така, че \(O\) е среда на отсечката \(AA'\). Това означава, че точките \(A\), \(O\) и \(A'\) лежат на една права и \(AO = OA'\). Централната симетрия е еднаквост, което означава, че запазва разстоянията, ъглите и формата на фигурите. Образът на всяка фигура е фигура, еднаква на нея.

а) Построяване на образ на права

Стъпка 1: Подготовка на чертежа

За да построим образа на права, е достатъчно да построим образите на две произволни нейни точки.
Начертайте произволна права \( p \) (например, хоризонтална). Поставете точка \( O \) над правата \( p \), така че да не лежи на нея. Вземете две произволни точки \( A \) и \( B \) върху правата \( p \), като \( A \) е разположена вляво от \( B \). Начертайте права отсечка \( AO \) с пунктирана линия. Продължете тази линия през точка \( O \) до точка \( A' \), така че \( A, O, A' \) да са колинеарни и точка \( O \) да е среда на отсечката \( AA' \) (\( AO = OA' \)). Обозначете равенството на отсечките \( AO \) и \( OA' \) с еднакви къси чертички. Аналогично, начертайте права отсечка \( BO \) с пунктирана линия. Продължете тази линия през точка \( O \) до точка \( B' \), така че \( B, O, B' \) да са колинеарни и точка \( O \) да е среда на отсечката \( BB' \) (\( BO = OB' \)). Обозначете равенството на отсечките \( BO \) и \( OB' \) с еднакви къси чертички (различни от тези за \( AO \) и \( OA' \)). Накрая, начертайте плътна права \( p' \), която минава през точките \( A' \) и \( B' \). Обозначете всички точки и прави. Правата \( p' \) е образът на правата \( p \) при централна симетрия и е успоредна на \( p \).

Стъпка 2: Построяване на образите на ключови точки

Избираме две произволни точки \( A \) и \( B \) от правата \( p \). Построяваме образа \( A' \) на точка \( A \) при симетрията \( S_O \). Точка \( A' \) лежи на правата \( AO \) и \( AO = OA' \). Записваме \( S_O(A) = A' \). По същия начин построяваме образа \( B' \) на точка \( B \), т.е. \( S_O(B) = B' \).

Стъпка 3: Построяване на образа на правата

Тъй като образ на права при еднаквост е отново права, то образът на правата \( p \) ще бъде правата \( p' \), която минава през точките \( A' \) и \( B' \).

Стъпка 4: Извод

Образът на права \( p \) при централна симетрия \( S_O \) е права \( p' \), успоредна на \( p \). Ако центърът на симетрия \( O \) лежи на правата \( p \), тогава образът на правата съвпада със самата нея (\( p' \equiv p \)).

б) Построяване на образ на лъч

Стъпка 1: Подготовка на чертежа

За да построим образа на лъч, трябва да построим образа на неговото начало и на още една негова точка.
Начертайте лъч \( l \) с начало точка \( P \), който се простира от \( P \) надясно и нагоре. Изберете точка \( Q \) върху лъча \( l \), разположена след \( P \) по посока на лъча. Изберете център на симетрия \( O \), който не лежи на лъча \( l \), например под лъча и леко вдясно от \( P \). За да построите симетричната точка \( P' \) на \( P \) спрямо \( O \): начертайте пунктирана отсечка \( PO \), след това я продължете отвъд \( O \) до точка \( P' \), така че \( O \) да е среда на отсечката \( PP' \) (\( PO = OP' \)). Аналогично, за да построите симетричната точка \( Q' \) на \( Q \) спрямо \( O \): начертайте пунктирана отсечка \( QO \), след това я продължете отвъд \( O \) до точка \( Q' \), така че \( O \) да е среда на отсечката \( QQ' \) (\( QO = OQ' \)). Накрая, начертайте лъча \( l' \) с начало \( P' \), който минава през точка \( Q' \). Лъчът \( l' \) трябва да бъде успореден на лъча \( l \), но с обратна посока.

Стъпка 2: Построяване на образите на ключови точки

Нека лъчът \( l \) има начало точка \( P \) и \( Q \) е друга точка от него. Построяваме образа \( P' \) на точка \( P \) при симетрията \( S_O(P) = P' \). Построяваме образа \( Q' \) на точка \( Q \) при симетрията \( S_O(Q) = Q' \).

Стъпка 3: Построяване на образа на лъча

Образът на лъча \( l \) (с начало \( P \)) е лъчът \( l' \) с начало \( P' \), който минава през точка \( Q' \).

Стъпка 4: Извод

Образът на лъча \( PQ^{\rightarrow} \) е лъчът \( P'Q'^{\rightarrow} \). Новият лъч е успореден на първоначалния, но е с противоположна посока.

в) Построяване на образ на ъгъл

Стъпка 1: Подготовка на чертежа

За да построим образа на ъгъл, трябва да построим образа на неговия връх и на по една точка от всяко от раменете му.
Начертайте ъгъл с връх \( V \). Разположете върха \( V \) в долната лява част на чертежа, с рамене, простиращи се нагоре и надясно. Вземете по една точка \( A \) и \( B \) на раменете му, на еднакво разстояние от \( V \), така че да се получи \(\angle AVB \). Изберете център на симетрия \( O \), разположен в горната дясна част на чертежа, извън ъгъла. За всяка от точките \( V \), \( A \) и \( B \), постройте симетричната й точка \( V' \), \( A' \) и \( B' \) спрямо \( O \). За целта свържете всяка точка с \( O \) (напр. \( V \) с \( O \)) и продължете правата отвъд \( O \) до съответната симетрична точка (напр. \( V' \)), така че \( O \) да е среда на отсечката, свързваща точката с нейния образ (т.е. \( VO = OV' \), \( AO = OA' \) и \( BO = OB' \), и точките \( V, O, V' \), \( A, O, A' \) и \( B, O, B' \) са колинеарни). Използвайте тънки пунктирани линии за отсечките \( VO, OV', AO, OA', BO, OB' \). Свържете \( V' \) с \( A' \) и \( V' \) с \( B' \) с плътни линии, за да получите раменете на образа на ъгъла \(\angle A'V'B' \). Етикетирайте ясно всички точки \( V, A, B, O, V', A', B' \).

Стъпка 2: Построяване на образите на ключови точки

Нека е даден \(\angle AVB \). Трябва да намерим образите на върха \( V \) и на точките \( A \) и \( B \). Построяваме \( S_O(V) = V' \), \( S_O(A) = A' \) и \( S_O(B) = B' \).

Стъпка 3: Построяване на образа на ъгъла

Образът на \(\angle AVB \) е \(\angle A'V'B' \).

Стъпка 4: Извод

Тъй като централната симетрия е еднаквост, тя запазва ъглите. Следователно, \( \angle AVB = \angle A'V'B' \).

г) Построяване на образ на успоредник

Стъпка 1: Подготовка на чертежа

За да построим образа на успоредник, трябва да построим образите на неговите четири върха.
Начертайте успоредник \( ABCD \) с връх \(A\) долу вляво, \(B\) долу вдясно, \(C\) горе вдясно и \(D\) горе вляво. Разположете точка \(O\) извън успоредника, например горе вдясно от него. За всеки връх на успоредника (\( A, B, C, D \)), постройте симетричната му точка спрямо \( O \) (\( A', B', C', D' \)). За целта свържете всеки връх \(X\) с \(O\), продължете отсечката зад \(O\) и маркирайте \(X'\) така, че \(O\) да е среда на отсечката \(XX'\) (\(XO = OX'\)). Използвайте пунктирани линии за отсечките \(AA', BB', CC', DD'\). Свържете новите точки \(A', B', C', D'\) в същия ред, за да получите образа на успоредника \(A'B'C'D'\), който е еднакъкв на \(ABCD\) и е разположен от противоположната страна на \(O\).

Стъпка 2: Построяване на образите на върховете

Нека е даден успоредник \( ABCD \). Построяваме последователно образите на върховете му при симетрията \( S_O \): \( S_O(A) = A' \), \( S_O(B) = B' \), \( S_O(C) = C' \), \( S_O(D) = D' \).

Стъпка 3: Построяване на образа на успоредника

Свързваме точките \( A', B', C', D' \) в същия ред. Получената фигура \( A'B'C'D' \) е образът на успоредника \( ABCD \).

Стъпка 4: Извод

Образът на успоредника \( ABCD \) е успоредник \( A'B'C'D' \), който е еднакъв на дадения: \( ABCD \cong A'B'C'D' \).

д) Построяване на образ на трапец

Стъпка 1: Подготовка на чертежа

За да построим образа на трапец, трябва да построим образите на неговите четири върха.
Начертайте трапец \( ABCD \), като \( AB \) е успоредна на \( CD \). Разположете произволна точка \( O \) извън трапеца. За всеки връх на трапеца (\( A, B, C, D \)), постройте неговата симетрична точка спрямо \( O \): - За точка \( A \), начертайте отсечка \( AO \). Продължете тази отсечка отвъд \( O \), така че да получите точка \( A' \), за която \( O \) е среда на \( AA' \) (т.е. \( A, O, A' \) са колинеарни и \( AO = OA' \)). - Повторете същата конструкция за върховете \( B, C, D \), за да получите съответно техните образи \( B', C', D' \). Свържете последователно точките \( A', B', C', D' \), за да получите образа на трапеца - трапец \( A'B'C'D' \). Образът \( A'B'C'D' \) е еднакъв на оригиналния трапец \( ABCD \).

Стъпка 2: Построяване на образите на върховете

Нека е даден трапец \( ABCD \). Построяваме последователно образите на върховете му при симетрията \( S_O \): \( S_O(A) = A' \), \( S_O(B) = B' \), \( S_O(C) = C' \), \( S_O(D) = D' \).

Стъпка 3: Построяване на образа на трапеца

Свързваме точките \( A', B', C', D' \) в същия ред. Получената фигура \( A'B'C'D' \) е образът на трапеца \( ABCD \).

Стъпка 4: Извод

Образът на трапеца \( ABCD \) е трапец \( A'B'C'D' \), който е еднакъв на дадения: \( ABCD \cong A'B'C'D' \).

а) Образ на права

Дадена е права \( p \). Избираме \( A, B \in p \). \( S_O(A) = A' \), \( S_O(B) = B' \). Образът е правата \( p' \), минаваща през \( A' \) и \( B' \). \( p' \parallel p \).

б) Образ на лъч

Даден е лъч \( l \) с начало \( P \) и \( Q \in l \). \( S_O(P) = P' \), \( S_O(Q) = Q' \). Образът е лъч \( l' \) с начало \( P' \). \( l' \) е успореден и обратно насочен на \( l \).

в) Образ на ъгъл

Даден е \( \angle AVB \). \( S_O(V) = V' \), \( S_O(A) = A' \), \( S_O(B) = B' \). Образът е \( \angle A'V'B' \), като \( \angle A'V'B' = \angle AVB \).

г) Образ на успоредник

Даден е успоредник \( ABCD \). Образът му е успоредник \( A'B'C'D' \), където \( A', B', C', D' \) са образите на съответните върхове. \( A'B'C'D' \cong ABCD \).

д) Образ на трапец

Даден е трапец \( ABCD \). Образът му е трапец \( A'B'C'D' \), където \( A', B', C', D' \) са образите на съответните върхове. \( A'B'C'D' \cong ABCD \).