25. Трапец. Продължение

Дадено: трапец ABCD с основи AB и CD (AB || CD). Търсим: Сборът \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D \) Нека \( \angle A = \alpha \) и \( \angle B = \beta \). От свойството на трапеца (AB || CD) следва, че сборът на ъглите при всяко бедро е \( 180^\circ \). Следователно: \[ \angle D = 180^\circ - \alpha \] \[ \angle C = 180^\circ - \beta \] За сбора на ъглите намираме: \[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = \alpha + \beta + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \alpha) \] \[ = \cancel{\alpha} + \cancel{\beta} + 180^\circ - \cancel{\beta} + 180^\circ - \cancel{\alpha} \] \[ = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ \]

Стъпка 1: Разглеждане на трапеца и неговите свойства

Трапецът е четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни. Тези страни се наричат основи на трапеца. Другите две страни се наричат бедра.
Начертайте трапец ABCD. Разположете върха A в долния ляв ъгъл на чертежа. Върхът B е вдясно от A, образувайки голямата основа AB. Върхът D е разположен над A, а върхът C е разположен над B, така че CD е по-късата основа. Уверете се, че страната AB е успоредна на страната CD (AB || CD). Свържете точките в последователност A, B, C, D и A, за да оформите трапеца. Обозначете вътрешните ъгли на трапеца при всеки връх: \( \angle A \) при връх A, \( \angle B \) при връх B, \( \angle C \) при връх C и \( \angle D \) при връх D. Ключово свойство на трапеца, което произтича от успоредността на основите, е, че сборът на ъглите, прилежащи на всяко от бедрата, е равен на \( 180^\circ \). Това е така, защото бедрата (например AD) могат да се разглеждат като пресичащи две успоредни прави (AB и CD). В този случай ъглите \( \angle A \) и \( \angle D \) са прилежащи ъгли и сборът им е \( 180^\circ \). Същото важи и за \( \angle B \) и \( \angle C \).

Стъпка 2: Означаване на ъглите

За да намерим общия сбор, можем да изразим два от ъглите чрез другите два. Нека означим: \[ \angle A = \alpha \] \[ \angle B = \beta \] От свойството на трапеца, което споменахме, следва, че: \[ \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \alpha \] \[ \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - \beta \]

Стъпка 3: Пресмятане на сбора на вътрешните ъгли

Сборът на вътрешните ъгли на трапеца е сумата от четирите му ъгъла: \[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D \] Сега заместваме означените ъгли с техните изрази: \[ \alpha + \beta + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \alpha) \] Прегрупираме събираемите, за да извършим изчисленията по-лесно: \[ \alpha - \alpha + \beta - \beta + 180^\circ + 180^\circ \] Виждаме, че някои от членовете се унищожават взаимно: \[ \cancel{\alpha} - \cancel{\alpha} + \cancel{\beta} - \cancel{\beta} + 180^\circ + 180^\circ \] След съкращаването остава: \[ 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ \] Така намираме, че сборът на вътрешните ъгли на всеки трапец е \( 360^\circ \). Това е вярно и за всеки изпъкнал четириъгълник.

Нека ъглите на трапеца са \( \alpha, \beta, 180^\circ - \alpha \) и \( 180^\circ - \beta \). Сборът им е: \( S = \alpha + \beta + 180^\circ - \alpha + 180^\circ - \beta = \cancel{\alpha} - \cancel{\alpha} + \cancel{\beta} - \cancel{\beta} + 360^\circ = 360^\circ \)