Най-важното от урока
Периферен ъгъл: връх на окръжността, едното рамо допирателна, другото хорда.
Мярка: Винаги е половината от градусната мярка на съответната дъга. (Пример: Ако дъгата е \(120^\circ\), периферният ъгъл е \(60^\circ\)).
Ключово свойство: Периферният ъгъл е равен на вписания ъгъл, който отсича същата дъга. Това е много полезно при решаване на задачи с вписани триъгълници.
Успоредна хорда: Ако хорда е успоредна на допирателна, дъгите между тях са равни.
Мярка: Винаги е половината от градусната мярка на съответната дъга. (Пример: Ако дъгата е \(120^\circ\), периферният ъгъл е \(60^\circ\)).
Ключово свойство: Периферният ъгъл е равен на вписания ъгъл, който отсича същата дъга. Това е много полезно при решаване на задачи с вписани триъгълници.
Успоредна хорда: Ако хорда е успоредна на допирателна, дъгите между тях са равни.
Ъгъл, чийто връх лежи на окръжност, едното му рамо е допирателна към окръжността в тази точка, а другото му рамо е хорда, се нарича периферен ъгъл.
Теорема: Мярката на периферен ъгъл е равна на половината от мярката на принадлежащата му дъга.
\[ \angle \text{периферен} = \frac{1}{2} \cdot \text{дъга} \]
Ако дъгата \(\stackrel{\frown}{AC}\) е \(110^\circ\), то периферният ъгъл, образуван от допирателната в точка A и хордата AC, е равен на \(\frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ\).
Допирателна в точка C към окръжност \(k\) образува с хордата CD ъгъл от \(72^\circ\). Намерете градусната мярка на дъгата \(\stackrel{\frown}{CD}\).
Ъгълът е периферен, следователно мярката му е половината от мярката на дъгата.
\(\frac{1}{2} \stackrel{\frown}{CD} = 72^\circ\)
\(\stackrel{\frown}{CD} = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ\).
\(\frac{1}{2} \stackrel{\frown}{CD} = 72^\circ\)
\(\stackrel{\frown}{CD} = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ\).
Периферният ъгъл, образуван от допирателна и хорда, е равен на всеки вписан ъгъл, който отсича същата дъга.
В \(\triangle ABC\), вписан в окръжност, \(\angle A = 65^\circ\). Допирателната към окръжността в точка B образува със страната BC ъгъл, равен на \(\angle A\), т.е. \(65^\circ\). Аналогично, ъгълът между допирателната в B и страната AB е равен на \(\angle C\).
Вписаният в окръжност \(\triangle MNK\) има \(\angle N = 40^\circ\). Намерете ъгъла между допирателната в точка M и страната MK.
Ъгълът между допирателната в M и хордата MK е периферен и отсича дъгата \(\stackrel{\frown}{MK}\). Вписаният ъгъл \(\angle MNK\) също отсича дъгата \(\stackrel{\frown}{MK}\). Следователно, търсеният ъгъл е равен на \(\angle N = 40^\circ\).
Ако хорда в окръжност е успоредна на допирателна, то дъгите, заключени между допирната точка и краищата на хордата, са равни.
Допирателната в точка A е успоредна на хордата BC. Ако \(\stackrel{\frown}{BC} = 140^\circ\), тогава за дъгите \(\stackrel{\frown}{AB}\) и \(\stackrel{\frown}{AC}\) остават \(360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\). Тъй като те са равни, всяка от тях е \(220^\circ / 2 = 110^\circ\).
Хордата MN е успоредна на допирателната към окръжността в точка P. Намерете \(\angle MPN\), ако \(\stackrel{\frown}{MN} = 150^\circ\).
Тъй като хордата е успоредна на допирателната, \(\stackrel{\frown}{PM} = \stackrel{\frown}{PN}\).
\(\stackrel{\frown}{PM} + \stackrel{\frown}{PN} + \stackrel{\frown}{MN} = 360^\circ\)
\(2 \cdot \stackrel{\frown}{PM} + 150^\circ = 360^\circ \implies 2 \cdot \stackrel{\frown}{PM} = 210^\circ \implies \stackrel{\frown}{PM} = 105^\circ\).
\(\triangle MPN\) е равнобедрен с \(\angle PNM = \angle PMN = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{PM} = \frac{105^\circ}{2} = 52.5^\circ\).
\(\angle MPN = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{MN} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ\).
\(\stackrel{\frown}{PM} + \stackrel{\frown}{PN} + \stackrel{\frown}{MN} = 360^\circ\)
\(2 \cdot \stackrel{\frown}{PM} + 150^\circ = 360^\circ \implies 2 \cdot \stackrel{\frown}{PM} = 210^\circ \implies \stackrel{\frown}{PM} = 105^\circ\).
\(\triangle MPN\) е равнобедрен с \(\angle PNM = \angle PMN = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{PM} = \frac{105^\circ}{2} = 52.5^\circ\).
\(\angle MPN = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{MN} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дъгата \(\stackrel{\frown}{AB}\) в окръжност \(k\) е \(98^\circ\). Намерете периферния ъгъл, образуван от хордата AB и допирателната към \(k\) в точка A.
Периферният ъгъл е половината от принадлежащата му дъга.
\(\angle = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 98^\circ = 49^\circ\).
\(\angle = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 98^\circ = 49^\circ\).
Средна: \(\triangle ABC\) е вписан в окръжност \(k\), като \(\angle A=50^\circ\) и \(\angle B=75^\circ\). Допирателната към \(k\) в точка C образува остър ъгъл със страната BC. Намерете този ъгъл.
Ъгълът между допирателната в точка C и хордата BC е периферен ъгъл. Той е равен на вписания ъгъл, който отсича същата дъга \(\stackrel{\frown}{BC}\), а това е \(\angle BAC\).
Следователно, търсеният ъгъл е равен на \(\angle A = 50^\circ\).
Следователно, търсеният ъгъл е равен на \(\angle A = 50^\circ\).
Трудна: В окръжност \(k\) с център O е построена допирателна \(t\) в точка A. Хордата BC е успоредна на \(t\) и \(\angle BOC = 100^\circ\). Намерете ъглите на \(\triangle ABC\).
1. \(\angle BOC\) е централен ъгъл, следователно \(\stackrel{\frown}{BC} = 100^\circ\).
2. Тъй като \(t \parallel BC\), то \(\stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{AC}\).
3. Сумата от дъгите е \(360^\circ\): \(\stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{BC} = 360^\circ\).
\(2 \cdot \stackrel{\frown}{AB} + 100^\circ = 360^\circ \implies 2 \cdot \stackrel{\frown}{AB} = 260^\circ \implies \stackrel{\frown}{AB} = 130^\circ\).
Значи \(\stackrel{\frown}{AC} = 130^\circ\).
4. Ъглите на \(\triangle ABC\) са вписани:
2. Тъй като \(t \parallel BC\), то \(\stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{AC}\).
3. Сумата от дъгите е \(360^\circ\): \(\stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{AC} + \stackrel{\frown}{BC} = 360^\circ\).
\(2 \cdot \stackrel{\frown}{AB} + 100^\circ = 360^\circ \implies 2 \cdot \stackrel{\frown}{AB} = 260^\circ \implies \stackrel{\frown}{AB} = 130^\circ\).
Значи \(\stackrel{\frown}{AC} = 130^\circ\).
4. Ъглите на \(\triangle ABC\) са вписани:
- \(\angle BAC = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BC} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\).
- \(\angle ABC = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AC} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ\).
- \(\angle ACB = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ\).
