Най-важното от урока
Определение: \(\sqrt{a}\) е положителното число, което повдигнато на квадрат дава \(a\). Пример: \(\sqrt{49}=7\).
Корен от квадрат: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Винаги помни модула! Пример: \(\sqrt{(-9)^2} = |-9| = 9\).
Умножение/Деление: Корените се умножават и делят лесно: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\). Пример: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\).
Събиране/Изваждане: Само на "подобни" корени (с еднаква подкоренна част) след опростяване. Пример: \(\sqrt{50} - \sqrt{8} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
Корен от квадрат: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Винаги помни модула! Пример: \(\sqrt{(-9)^2} = |-9| = 9\).
Умножение/Деление: Корените се умножават и делят лесно: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\). Пример: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\).
Събиране/Изваждане: Само на "подобни" корени (с еднаква подкоренна част) след опростяване. Пример: \(\sqrt{50} - \sqrt{8} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
Квадратен корен от неотрицателно число \(a\) (\(a \ge 0\)) е единственото неотрицателно число \(x\), чиято втора степен е равна на \(a\).
\[ \sqrt{a} = x \iff x^2 = a \quad (\text{където } a \ge 0, x \ge 0) \]
За всяко число \(a\), правилото за коренуване на степен е:
\[ \sqrt{a^2} = |a| \]
Ако \(a \ge 0\), тогава степенуването на корен е:
\[ (\sqrt{a})^2 = a \]
\(\sqrt{64} = 8\), защото \(8^2 = 64\) и \(8 \ge 0\).
\(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\).
\((\sqrt{7})^2 = 7\).
\(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\).
\((\sqrt{7})^2 = 7\).
Пресметнете стойността на израза \(\sqrt{100} - \sqrt{(-3)^2}\).
\(\sqrt{100} = 10\)
\(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\)
\(10 - 3 = 7\)
Отговор: 7
\(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\)
\(10 - 3 = 7\)
Отговор: 7
Корен от произведение е равен на произведението от корените. Корен от частно е равен на частното от корените.
\[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (\text{за } a \ge 0, b \ge 0) \]
\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (\text{за } a \ge 0, b > 0) \]
Умножение: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\).
Деление: \(\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7\).
Деление: \(\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7\).
Пресметнете \(\sqrt{45} \cdot \sqrt{5}\).
\(\sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45 \cdot 5} = \sqrt{225} = 15\).
Изнасяне на множител: Ако подкоренната величина има множител, който е точен квадрат, можем да го изнесем пред корена.
\[ \sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b} \quad (\text{за } b \ge 0) \]
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\).
Внасяне на множител: Можем да внесем неотрицателен множител под знака на корена, като го повдигнем на втора степен.
\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b} \quad (\text{за } a \ge 0, b \ge 0) \]
\(6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\).
Изнасяне множител от корена в израза \(\sqrt{48}\).
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\).
Можем да събираме и изваждаме само корени с еднакви подкоренни величини (подобни радикали). Първо опростяваме всеки корен чрез изнасяне на множител и след това извършваме действието.
Няма общо правило за \(\sqrt{a+b}\) или \(\sqrt{a-b}\)! Например, \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), но \(\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7\).
Опростете израза \(\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8}\).
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\)
Следователно: \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3+5-2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\)
Следователно: \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3+5-2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Опростете израза \(3\sqrt{20} - \sqrt{45}\).
\(3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (6-3)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\).
\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (6-3)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(5\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\).
\(5\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 5\sqrt{2 \cdot 8} = 5\sqrt{16} = 5 \cdot 4 = 20\).
Отговор: 20
Отговор: 20
Средна: Опростете дробите и пресметнете \(\frac{\sqrt{27}+\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\).
Начин 1:
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)
\(\frac{3\sqrt{3}+5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8\)
Начин 2:
\(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{9} + \sqrt{25} = 3+5=8\)
Отговор: 8
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)
\(\frac{3\sqrt{3}+5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8\)
Начин 2:
\(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} + \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{9} + \sqrt{25} = 3+5=8\)
Отговор: 8
Трудна: Разложете на множители израза \(4x^2 - 3\), като използвате формулата за съкратено умножение \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
Представяме всеки член като квадрат:
\(4x^2 = (2x)^2\)
\(3 = (\sqrt{3})^2\)
Заместваме във формулата:
\((2x)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2x - \sqrt{3})(2x + \sqrt{3})\).
\(4x^2 = (2x)^2\)
\(3 = (\sqrt{3})^2\)
Заместваме във формулата:
\((2x)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2x - \sqrt{3})(2x + \sqrt{3})\).
