Най-важното от урока
Вписан триъгълник: Около всеки триъгълник може да се опише окръжност с център пресечната точка на симетралите.
Описан триъгълник: Във всеки триъгълник може да се впише окръжност с център пресечната точка на ъглополовящите.
Вписан четириъгълник: Сборът на срещуположните ъгли е \(180^\circ\). ( \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) )
Описан четириъгълник: Сборовете на срещуположните страни са равни. ( \(a+c=b+d\) )
Описан триъгълник: Във всеки триъгълник може да се впише окръжност с център пресечната точка на ъглополовящите.
Вписан четириъгълник: Сборът на срещуположните ъгли е \(180^\circ\). ( \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) )
Описан четириъгълник: Сборовете на срещуположните страни са равни. ( \(a+c=b+d\) )
Многоъгълник, чиито върхове лежат върху една окръжност, се нарича вписан в окръжността. Окръжността се нарича описана около многоъгълника.
Центърът на описаната окръжност е пресечната точка на симетралите на страните на многоъгълника.
Условие за вписан четириъгълник: Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само тогава, когато сборът на срещуположните му ъгли е \(180^\circ\).
\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle B + \angle D = 180^\circ \]
Ако в четириъгълник \(ABCD\) е дадено, че \(\angle A = 80^\circ\) и \(\angle C = 100^\circ\), то около него може да се опише окръжност, защото \(80^\circ + 100^\circ = 180^\circ\).
Даден е вписан в окръжност четириъгълник \(MNPQ\), за който \(\angle M = 75^\circ\). Намерете \(\angle P\).
Тъй като четириъгълникът е вписан, сборът на срещуположните му ъгли е \(180^\circ\).
\(\angle M + \angle P = 180^\circ \implies 75^\circ + \angle P = 180^\circ \implies \angle P = 105^\circ\).
\(\angle M + \angle P = 180^\circ \implies 75^\circ + \angle P = 180^\circ \implies \angle P = 105^\circ\).
Многоъгълник, чиито страни са допирателни към една окръжност, се нарича описан около окръжността. Окръжността се нарича вписана в многоъгълника.
Центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на многоъгълника.
Условие за описан четириъгълник: В четириъгълник може да се впише окръжност тогава и само тогава, когато сборът от дължините на срещуположните му страни е равен.
\[ AB + CD = BC + DA \]
Даден е четириъгълник със страни \(a=5, b=6, c=8, d=7\). В него може да се впише окръжност, защото \(a+c = 5+8=13\) и \(b+d = 6+7=13\).
Трапец \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\)) е описан около окръжност. Ако бедрата му са \(AD=6\) см и \(BC=8\) см, намерете сбора на основите му.
Тъй като трапецът е описан, сборът на срещуположните страни е равен: \(AB + CD = AD + BC\).
\(AB + CD = 6 + 8 = 14\) см.
\(AB + CD = 6 + 8 = 14\) см.
Медицентър (M): Пресечна точка на трите медиани. Той дели всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха.
Ортоцентър (H): Пресечна точка на трите височини.
Център на вписаната окръжност (L): Пресечна точка на трите ъглополовящи. Той е на равни разстояния от страните на триъгълника.
Център на описаната окръжност (O): Пресечна точка на трите симетрали. Той е на равни разстояния от върховете на триъгълника.
Коя забележителна точка в триъгълника е равноотдалечена от върховете му?
Отговор: Центърът на описаната окръжност (пресечната точка на симетралите).
Задачи за упражнение
Лесна: Около трапец \(ABCD\) е описана окръжност. Ако \(\angle A = 70^\circ\), намерете останалите му ъгли.
Тъй като трапецът е вписан, той е равнобедрен. Следователно \(\angle B = \angle A = 70^\circ\).
От свойството на вписан четириъгълник \(\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
Съответно \(\angle D = \angle C = 110^\circ\).
Отговор: \(\angle B=70^\circ, \angle C=110^\circ, \angle D=110^\circ\).
Отговор: \(\angle B=70^\circ, \angle C=110^\circ, \angle D=110^\circ\).
Средна: Даден е правоъгълен триъгълник с катети \(a=6\) см и \(b=8\) см. Намерете радиусите на вписаната (\(r\)) и описаната (\(R\)) окръжности.
1. Намираме хипотенузата \(c\) с Питагорова теорема: \(c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies c = 10\) см.
2. Центърът на описаната окръжност за правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата. Следователно \(R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.
3. Радиусът на вписаната окръжност се намира по формулата \(r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2\) см.
Отговор: \(R=5\) см, \(r=2\) см.
2. Центърът на описаната окръжност за правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата. Следователно \(R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5\) см.
3. Радиусът на вписаната окръжност се намира по формулата \(r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2\) см.
Отговор: \(R=5\) см, \(r=2\) см.
Трудна: В ромб е вписана окръжност с радиус 6 см. Ако един от ъглите на ромба е \(30^\circ\), намерете дължината на страната му.
Диаметърът на вписаната окръжност е равен на височината на ромба: \(h = 2r = 2 \cdot 6 = 12\) см.
От тригонометричните функции в правоъгълния триъгълник, образуван от височината, страната \(a\) и ъгъл \(30^\circ\), имаме \(\sin(30^\circ) = \frac{h}{a}\).
\(\frac{1}{2} = \frac{12}{a} \implies a = 2 \cdot 12 = 24\) см.
Отговор: Страната на ромба е 24 см.
\(\frac{1}{2} = \frac{12}{a} \implies a = 2 \cdot 12 = 24\) см.
Отговор: Страната на ромба е 24 см.
