Най-важното от урока
Биквадратно уравнение: има вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\).
Метод на решаване: Полагаме \(x^2 = y\), за да получим квадратното уравнение \(ay^2 + by + c = 0\).
Намиране на x: Решаваме за \(y\), след което се връщаме към \(x^2 = y\). Реални корени за \(x\) има само ако \(y \ge 0\).
Пример за анализ на корените: Ако за \(x^4 - x^2 - 6 = 0\) положим \(x^2=y\), получаваме \(y^2-y-6=0\) с корени \(y_1=3\) и \(y_2=-2\). Само от \(x^2=3\) намираме реални корени \(x = \pm\sqrt{3}\).
Метод на решаване: Полагаме \(x^2 = y\), за да получим квадратното уравнение \(ay^2 + by + c = 0\).
Намиране на x: Решаваме за \(y\), след което се връщаме към \(x^2 = y\). Реални корени за \(x\) има само ако \(y \ge 0\).
Пример за анализ на корените: Ако за \(x^4 - x^2 - 6 = 0\) положим \(x^2=y\), получаваме \(y^2-y-6=0\) с корени \(y_1=3\) и \(y_2=-2\). Само от \(x^2=3\) намираме реални корени \(x = \pm\sqrt{3}\).
Уравнение от вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), където \(a \ne 0\), се нарича биквадратно уравнение.
Това е уравнение от четвърта степен, което съдържа само четни степени на неизвестното \(x\) (и свободен член).
Уравненията \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\) и \(2x^4 - 6x^2 + 4 = 0\) са биквадратни.
Кое от следните уравнения е биквадратно:
а) \(x^4 - 5x^3 + 4 = 0\)
б) \(3x^4 + 7x^2 - 1 = 0\)
в) \(x^2 - 9 = 0\)
а) \(x^4 - 5x^3 + 4 = 0\)
б) \(3x^4 + 7x^2 - 1 = 0\)
в) \(x^2 - 9 = 0\)
Отговор: Уравнение б) е биквадратно, защото е от вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\). Уравнение а) съдържа \(x^3\), а уравнение в) не е от четвърта степен.
Биквадратните уравнения се решават чрез въвеждане на помощно неизвестно (полагане).
Полагаме \(x^2 = y\). Тъй като \(x^2\) е винаги неотрицателно, трябва да е изпълнено \(y \ge 0\).
Заместваме в уравнението и получаваме квадратно уравнение спрямо \(y\): \(ay^2 + by + c = 0\).
Решаваме квадратното уравнение и намираме корените му \(y_1\) и \(y_2\).
Връщаме се към полагането. За всеки неотрицателен корен \(y\) решаваме уравнението \(x^2 = y\), за да намерим корените за \(x\).
Да решим \(x^4 - 26x^2 + 25 = 0\).
1. Полагаме \(x^2 = y\).
2. Получаваме \(y^2 - 26y + 25 = 0\).
3. Корените са \(y_1 = 25\) и \(y_2 = 1\).
4. И двата корена са положителни:
От \(x^2 = 25 \implies x_{1,2} = \pm 5\).
От \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\).
Уравнението има 4 реални корена: \(\pm 1\) и \(\pm 5\).
1. Полагаме \(x^2 = y\).
2. Получаваме \(y^2 - 26y + 25 = 0\).
3. Корените са \(y_1 = 25\) и \(y_2 = 1\).
4. И двата корена са положителни:
От \(x^2 = 25 \implies x_{1,2} = \pm 5\).
От \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\).
Уравнението има 4 реални корена: \(\pm 1\) и \(\pm 5\).
Решете уравнението \(x^4 - 8x^2 + 15 = 0\) чрез полагане.
Полагаме \(x^2=y\). Уравнението става \(y^2 - 8y + 15 = 0\).
Корените му са \(y_1=3\) и \(y_2=5\).
От \(x^2=3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}\).
От \(x^2=5 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{5}\).
Корени: \(\pm\sqrt{3}, \pm\sqrt{5}\).
Корени: \(\pm\sqrt{3}, \pm\sqrt{5}\).
Уравнението \(x^2 = y\) има реални решения за \(x\) само ако \(y \ge 0\). Ако \(y < 0\), то няма реални решения.
След като намерим \(y_1\) и \(y_2\), броят на реалните корени на биквадратното уравнение зависи от техните знаци:
- Ако \(y_1 > 0\) и \(y_2 > 0\), има 4 реални корена.
- Ако \(y_1 > 0\) и \(y_2 < 0\), има 2 реални корена.
- Ако \(y_1 > 0\) и \(y_2 = 0\), има 3 реални корена (\(x=0, x=\pm\sqrt{y_1}\)).
- Ако \(y_1 < 0\) и \(y_2 < 0\), няма реални корени.
Да решим \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0\).
Полагаме \(x^2 = y \implies y^2 + 5y + 4 = 0\).
Корените са \(y_1 = -1\) и \(y_2 = -4\).
Тъй като и двата корена са отрицателни, уравненията \(x^2 = -1\) и \(x^2 = -4\) нямат реални решения.
Следователно, биквадратното уравнение няма реални корени.
Полагаме \(x^2 = y \implies y^2 + 5y + 4 = 0\).
Корените са \(y_1 = -1\) и \(y_2 = -4\).
Тъй като и двата корена са отрицателни, уравненията \(x^2 = -1\) и \(x^2 = -4\) нямат реални решения.
Следователно, биквадратното уравнение няма реални корени.
Колко реални корена има уравнението \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\)?
Полагаме \(x^2 = y \implies y^2 - 3y - 4 = 0\).
Корените са \(y_1=4\) и \(y_2=-1\).
Тъй като \(y_1=4 > 0\), от \(x^2=4\) получаваме \(x_{1,2} = \pm 2\).
Тъй като \(y_2=-1 < 0\), от \(x^2=-1\) няма реални корени.
Отговор: Уравнението има 2 реални корена.
Тъй като \(y_1=4 > 0\), от \(x^2=4\) получаваме \(x_{1,2} = \pm 2\).
Тъй като \(y_2=-1 < 0\), от \(x^2=-1\) няма реални корени.
Отговор: Уравнението има 2 реални корена.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете непълното биквадратно уравнение \(2x^4 - 8x^2 = 0\).
Изнасяме общ множител \(2x^2\):
\[ 2x^2(x^2 - 4) = 0 \]
Това е вярно, когато:
1) \(2x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x_1 = 0\).
2) \(x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_{2,3} = \pm 2\).
Отговор: Корените са 0, 2 и -2.
1) \(2x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x_1 = 0\).
2) \(x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_{2,3} = \pm 2\).
Отговор: Корените са 0, 2 и -2.
Средна: Решете уравнението \(x^4 + 2x^2 - 15 = 0\).
Полагаме \(x^2=y\):
\[ y^2 + 2y - 15 = 0 \]
Корените на квадратното уравнение са \(y_1 = 3\) и \(y_2 = -5\).
Разглеждаме всеки корен:
1) От \(x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}\).
2) От \(x^2 = -5\), няма реални корени, защото -5 е отрицателно число.
Отговор: Корените са \(\sqrt{3}\) и \(-\sqrt{3}\).
Разглеждаме всеки корен:
1) От \(x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}\).
2) От \(x^2 = -5\), няма реални корени, защото -5 е отрицателно число.
Отговор: Корените са \(\sqrt{3}\) и \(-\sqrt{3}\).
Трудна: Решете уравнението \((x^2 - 1)^2 + (x^2 + 1)^2 = 40\).
Първо, трябва да сведем уравнението до биквадратно, като разкрием скобите:
\[ (x^4 - 2x^2 + 1) + (x^4 + 2x^2 + 1) = 40 \]
Опростяваме:
\[ 2x^4 + 2 = 40 \]
\[ 2x^4 = 38 \]
\[ x^4 = 19 \]
Това е непълно биквадратно уравнение. Можем да го решим директно:
\[ x^2 = \pm\sqrt{19} \]
Разглеждаме двата случая:
1) \(x^2 = \sqrt{19} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\sqrt{19}} = \pm\sqrt[4]{19}\).
2) \(x^2 = -\sqrt{19}\) няма реални корени.
Отговор: Корените са \(\sqrt[4]{19}\) и \(-\sqrt[4]{19}\).
1) \(x^2 = \sqrt{19} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\sqrt{19}} = \pm\sqrt[4]{19}\).
2) \(x^2 = -\sqrt{19}\) няма реални корени.
Отговор: Корените са \(\sqrt[4]{19}\) и \(-\sqrt[4]{19}\).
