Най-важното от урока
Умножение с число \(k\): Векторът \(k\vec{u}\) има дължина \(|k| \cdot |\vec{u}|\). Посоката му е същата като на \(\vec{u}\) ако \(k>0\), и противоположна, ако \(k<0\).
Пример: Ако \(|\vec{a}|=5\), то \(3\vec{a}\) има дължина 15 и същата посока, а \(-2\vec{a}\) има дължина 10 и обратна посока.
Колинеарност: Векторите \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) са колинеарни (успоредни), ако \(\vec{v} = k\vec{u}\).
Точки на една права: Точките A, B, C са на една права, ако \(\vec{AC} = k\vec{AB}\).
Пример: Ако \(|\vec{a}|=5\), то \(3\vec{a}\) има дължина 15 и същата посока, а \(-2\vec{a}\) има дължина 10 и обратна посока.
Колинеарност: Векторите \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) са колинеарни (успоредни), ако \(\vec{v} = k\vec{u}\).
Точки на една права: Точките A, B, C са на една права, ако \(\vec{AC} = k\vec{AB}\).
Произведението на ненулев вектор \(\vec{u}\) с число \(k \neq 0\) е вектор, означен с \(k\vec{u}\), който има:
- Дължина: равна на \(|k| \cdot |\vec{u}|\) (произведението на модула на числото и дължината на вектора).
- Посока: същата като на \(\vec{u}\), ако \(k > 0\), и противоположна на \(\vec{u}\), ако \(k < 0\).
Ако \(k=0\) или \(\vec{u}=\vec{0}\), то произведението \(k\vec{u}\) е нулевият вектор \(\vec{0}\).
Ако е даден вектор \(\vec{a}\) с дължина \(|\vec{a}|=6 \text{ cm}\):
- Векторът \(2\vec{a}\) ще бъде еднопосочен с \(\vec{a}\) и ще има дължина \(|2| \cdot 6 = 12 \text{ cm}\).
- Векторът \(-\frac{1}{2}\vec{a}\) ще бъде противопосочен на \(\vec{a}\) и ще има дължина \(|-\frac{1}{2}| \cdot 6 = 3 \text{ cm}\).
Даден е вектор \(\vec{c}\) с дължина 5. Каква е дължината и посоката на вектора \(-4\vec{c}\)?
Дължина: \(|-4| \cdot |\vec{c}| = 4 \cdot 5 = 20\).
Посока: Тъй като \(k = -4 < 0\), посоката е противоположна на тази на \(\vec{c}\).
Посока: Тъй като \(k = -4 < 0\), посоката е противоположна на тази на \(\vec{c}\).
Противоположен на \(\vec{u}\) е векторът \(-\vec{u}\), който има същата дължина, но противоположна посока. Той се получава при умножението на \(\vec{u}\) с числото \(-1\), т.е. \(-\vec{u} = (-1)\vec{u}\).
Ако имаме вектор \(\vec{AB}\), неговият противоположен е \(\vec{BA}\).
\[ \vec{BA} = -\vec{AB} \]
Какъв е сборът на един вектор и неговия противоположен?
Сборът на вектор и неговия противоположен винаги е нулевият вектор: \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\).
Два вектора се наричат колинеарни, ако лежат на една и съща права или на успоредни прави.
Два ненулеви вектора \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) са колинеарни тогава и само тогава, когато съществува число \(k\), за което \(\vec{v} = k\vec{u}\).
Ако \(\vec{AB} = -3\vec{CD}\), то векторите \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) са колинеарни, а от това следва, че правите AB и CD са успоредни (или лежат на една права).
Векторите \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) са колинеарни и противопосочни. Ако \(|\vec{p}|=4\) и \(|\vec{q}|=12\), намерете числото \(k\), за което \(\vec{q} = k\vec{p}\).
От \(|\vec{q}| = |k| \cdot |\vec{p}|\) следва \(12 = |k| \cdot 4\), откъдето \(|k|=3\).
Понеже векторите са противопосочни, \(k < 0\).
Следователно \(k = -3\).
Понеже векторите са противопосочни, \(k < 0\).
Следователно \(k = -3\).
Точките A, B и C лежат на една права тогава и само тогава, когато векторите \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) са колинеарни. Тоест, трябва да съществува число \(k\), за което \(\vec{AC} = k\vec{AB}\).
Точките A, C, B лежат на една права в този ред. Ако \(|\vec{AC}| = 3\) и \(|\vec{AB}| = 4\), то \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\) са еднопосочни и \(|\vec{AC}| = \frac{3}{4}|\vec{AB}|\). Следователно \(\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AB}\).
Точките M, N, P лежат на една права, като N е между M и P. Ако \(MN = 2\) и \(MP = 6\), намерете числото \(k\), за което \(\vec{MN} = k\vec{MP}\).
Векторите \(\vec{MN}\) и \(\vec{MP}\) са еднопосочни, значи \(k>0\).
От \(|\vec{MN}| = |k||\vec{MP}|\) имаме \(2 = |k| \cdot 6\), откъдето \(|k|=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Следователно \(k=\frac{1}{3}\).
От \(|\vec{MN}| = |k||\vec{MP}|\) имаме \(2 = |k| \cdot 6\), откъдето \(|k|=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Следователно \(k=\frac{1}{3}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е вектор \(\vec{a}\) с дължина 15 cm. Намерете дължината и посоката на вектора \(\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{a}\).
Дължина: \(|\vec{b}| = |-\frac{1}{3}| \cdot |\vec{a}| = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5\) cm.
Посока: Тъй като коефициентът \(k = -\frac{1}{3}\) е отрицателен, вектор \(\vec{b}\) е противопосочен на \(\vec{a}\).
Посока: Тъй като коефициентът \(k = -\frac{1}{3}\) е отрицателен, вектор \(\vec{b}\) е противопосочен на \(\vec{a}\).
Средна: Точките A, B, C лежат на една права. B е между A и C. Известно е, че \(AB = 4\) cm, а \(BC = 2\) cm. Намерете числото \(k\), за което \(\vec{AB} = k\vec{CB}\).
Векторите \(\vec{AB}\) (от А към В) и \(\vec{CB}\) (от С към В) са противопосочни, следователно \(k < 0\).
Намираме абсолютната стойност на \(k\): \[ |\vec{AB}| = |k||\vec{CB}| \] \[ 4 = |k| \cdot 2 \] \[ |k| = 2 \] Тъй като \(k\) трябва да е отрицателно, отговорът е \(k = -2\).
Намираме абсолютната стойност на \(k\): \[ |\vec{AB}| = |k||\vec{CB}| \] \[ 4 = |k| \cdot 2 \] \[ |k| = 2 \] Тъй като \(k\) трябва да е отрицателно, отговорът е \(k = -2\).
Трудна: Дадени са два неколинеарни вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Постройте с общо начало вектор \(\vec{c} = -2\vec{a} + 3\vec{b}\).
Начертайте векторите \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) с общо начало точка O.
Постройте вектора \(-2\vec{a}\). Той трябва да има начало O, да е с двойно по-голяма дължина от \(\vec{a}\) и да е в противоположна посока. Нека краят му е точка P (\(\vec{OP} = -2\vec{a}\)).
Постройте вектора \(3\vec{b}\). Той трябва да има начало O, да е с тройно по-голяма дължина от \(\vec{b}\) и да е в същата посока. Нека краят му е точка Q (\(\vec{OQ} = 3\vec{b}\)).
Постройте успоредник с върхове O, P, Q. Векторът \(\vec{c}\) е диагоналът на този успоредник, който започва от O.
