Най-важното от урока
Основен принцип: Изваждането на вектор \(\vec{a} - \vec{b}\) е същото като събирането с неговия противоположен: \(\vec{a} + (-\vec{b})\).
Правило за общо начало: Ако векторите имат обща начална точка, изваждането става лесно: \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\).
Обратно правило: Всеки вектор може да се представи като разлика: \(\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}\) за всяка точка \(O\).
При опростяване: Превърнете всички изваждания в събирания (\(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \vec{v}_{opp}\)) и след това съберете векторите верижно (\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)).
Правило за общо начало: Ако векторите имат обща начална точка, изваждането става лесно: \(\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}\).
Обратно правило: Всеки вектор може да се представи като разлика: \(\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}\) за всяка точка \(O\).
При опростяване: Превърнете всички изваждания в събирания (\(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \vec{v}_{opp}\)) и след това съберете векторите верижно (\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)).
Разликата на два вектора \(\vec{a} - \vec{b}\) се дефинира като сбор на вектора \(\vec{a}\) с противоположния вектор на \(\vec{b}\), който е \(-\vec{b}\).
\[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \]
Това означава, че всяко изваждане може да се сведе до събиране.
За да начертаем разликата \(\vec{a} - \vec{b}\), първо начертаваме вектора \(\vec{a}\). След това от неговия край добавяме вектора \(-\vec{b}\) (който е със същата дължина и посока като \(\vec{b}\), но с противоположна посока). Резултантният вектор \(\vec{a} - \vec{b}\) свързва началото на \(\vec{a}\) с края на \(-\vec{b}\).
Опростете израза \(\vec{PQ} - \vec{RQ}\).
Превръщаме изваждането в събиране с противоположен вектор:
\[ \vec{PQ} - \vec{RQ} = \vec{PQ} + (-\vec{RQ}) = \vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR} \]
Когато два вектора \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\) имат общо начало (точка \(O\)), тяхната разлика е векторът, който свързва техните краища, като посоката е от края на умалителя (\(B\)) към края на умаляемото (\(A\)).
\[ \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA} \]
Забележете размяната на буквите.
Ако имаме векторите \(\vec{ON}\) и \(\vec{OM}\) с общо начало \(O\), тяхната разлика е:
\[ \vec{ON} - \vec{OM} = \vec{MN} \]
Намерете разликата \(\vec{CX} - \vec{CY}\).
Двата вектора имат общо начало \(C\). Прилагаме правилото:
\[ \vec{CX} - \vec{CY} = \vec{YX} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Представете вектора \(\vec{MN}\) като разлика на два вектора с общо начало точка \(P\).
Прилагаме правилото за общо начало в обратен ред:
\[ \vec{MN} = \vec{PN} - \vec{PM} \]
Средна: Опростете векторния израз \(\vec{XY} - \vec{ZY} - \vec{AZ}\).
Превръщаме изважданията в събирания с противоположни вектори и групираме:
\[ \vec{XY} - \vec{ZY} - \vec{AZ} = \vec{XY} + (-\vec{ZY}) + (-\vec{AZ}) = \vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZA} \]
Сега прилагаме правилото за събиране на вектори (верижно правило):
\[ (\vec{XY} + \vec{YZ}) + \vec{ZA} = \vec{XZ} + \vec{ZA} = \vec{XA} \]
Отговор: \(\vec{XA}\).
Трудна: В успоредника \(ABCD\) диагоналите се пресичат в точка \(O\). Опростете израза \(\vec{BC} - \vec{OC} - \vec{DO}\).
Превръщаме изважданията в събирания:
\[ \vec{BC} - \vec{OC} - \vec{DO} = \vec{BC} + \vec{CO} + \vec{OD} \]
Събираме последователно:
\[ (\vec{BC} + \vec{CO}) + \vec{OD} = \vec{BO} + \vec{OD} = \vec{BD} \]
Отговор: \(\vec{BD}\).
