Най-важното от урока
Трапец: Четириъгълник с една двойка успоредни страни (основи \(a\) и \(b\)).
Свойства на ъглите: Сборът на ъглите при всяко бедро е \(180^\circ\).
Формула за лице: \(S = \frac{a+b}{2}h\).
Равнобедрен трапец: Трапец с равни бедра. Основното му свойство е, че ъглите при всяка основа са равни. Пример: ако \(\angle A=65^\circ\), то и \(\angle B=65^\circ\).
Свойства на ъглите: Сборът на ъглите при всяко бедро е \(180^\circ\).
Формула за лице: \(S = \frac{a+b}{2}h\).
Равнобедрен трапец: Трапец с равни бедра. Основното му свойство е, че ъглите при всяка основа са равни. Пример: ако \(\angle A=65^\circ\), то и \(\angle B=65^\circ\).
Четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни, се нарича трапец.
- Основи: Успоредните страни (\(a\) и \(b\)).
- Бедра: Неуспоредните страни (\(c\) и \(d\)).
- Височина (h): Разстоянието между основите.
В трапец MNPO, страните MN и PO са успоредни. Кои са основите и кои са бедрата на трапеца?
Отговор: Основите са успоредните страни MN и PO. Бедрата са неуспоредните страни MP и NO.
Сборът от ъглите, прилежащи на всяко бедро на трапеца, е \(180^\circ\).
\[ \angle A + \angle D = 180^\circ \]
\[ \angle B + \angle C = 180^\circ \]
За трапец ABCD с основи AB и CD.
Ако в трапец ABCD (AB || CD) ъгъл \(\angle A = 70^\circ\), то ъгъл \(\angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
В трапец ABCD (AB || CD) ъгъл \(\angle B = 125^\circ\). Намерете градусната мярка на \(\angle C\).
Отговор: \(\angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\).
Периметър (P): Сборът от дължините на четирите му страни.
\[ P = a + b + c + d \]
Лице (S): Полусборът на основите, умножен по височината.
\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \]
Трапец с основи 10 см и 6 см и височина 5 см има лице:
\[ S = \frac{10+6}{2} \cdot 5 = \frac{16}{2} \cdot 5 = 8 \cdot 5 = 40 \text{ см}^2 \]
Намерете лицето на трапец с основи \(a=15\) см, \(b=9\) см и височина \(h=4\) см.
Отговор: \(S = \frac{15+9}{2} \cdot 4 = \frac{24}{2} \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48 \text{ см}^2\).
Трапец, на който бедрата са равни, се нарича равнобедрен трапец.
Основно свойство: Трапецът е равнобедрен тогава и само тогава, когато ъглите при една от основите му са равни.
- Ако \(AD = BC \Rightarrow \angle A = \angle B\) и \(\angle C = \angle D\).
- Ако \(\angle A = \angle B \Rightarrow AD = BC\).
В равнобедрен трапец ABCD (AB || CD) е дадено, че \(\angle A = 50^\circ\). От свойството следва, че \(\angle B = 50^\circ\). За другите два ъгъла имаме \(\angle D = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\) и \(\angle C = \angle D = 130^\circ\).
В трапец ABCD (AB || CD) ъглите при голямата основа са \(\angle A = 80^\circ\) и \(\angle B = 80^\circ\). Какъв е трапецът?
Отговор: Тъй като ъглите при основата са равни, трапецът е равнобедрен.
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е трапец с основи 14 см и 8 см, бедра 5 см и 7 см. Намерете периметъра на трапеца.
Периметърът е сбор от дължините на страните.
\[ P = a + b + c + d = 14 + 8 + 5 + 7 = 34 \text{ см} \]
Средна: В равнобедрен трапец ABCD (AB || CD, AD = BC) един от ъглите е \(110^\circ\). Намерете останалите ъгли.
Тъй като ъгълът е тъп, той е при малката основа. Нека \(\angle D = 110^\circ\).
Тъй като трапецът е равнобедрен, \(\angle C = \angle D = 110^\circ\).
Ъглите при голямата основа се намират от свойството \(\angle A + \angle D = 180^\circ\).
\(\angle A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
Тъй като е равнобедрен, \(\angle B = \angle A = 70^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ\).
Тъй като трапецът е равнобедрен, \(\angle C = \angle D = 110^\circ\).
Ъглите при голямата основа се намират от свойството \(\angle A + \angle D = 180^\circ\).
\(\angle A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
Тъй като е равнобедрен, \(\angle B = \angle A = 70^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ\).
Трудна: Лицето на равнобедрен трапец е 60 см², а височината му е 6 см. Намерете основите на трапеца, ако едната е с 4 см по-дълга от другата.
Нека малката основа е \(b\), а голямата е \(a\). По условие \(a = b + 4\).
Използваме формулата за лице: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\).
Заместваме с дадените стойности: \(60 = \frac{(b+4)+b}{2} \cdot 6\).
\(60 = (2b+4) \cdot 3\)
\(20 = 2b+4\)
\(16 = 2b\)
\(b = 8\) см.
Тогава голямата основа е \(a = b + 4 = 8 + 4 = 12\) см.
Отговор: Основите са 8 см и 12 см.
Използваме формулата за лице: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\).
Заместваме с дадените стойности: \(60 = \frac{(b+4)+b}{2} \cdot 6\).
\(60 = (2b+4) \cdot 3\)
\(20 = 2b+4\)
\(16 = 2b\)
\(b = 8\) см.
Тогава голямата основа е \(a = b + 4 = 8 + 4 = 12\) см.
Отговор: Основите са 8 см и 12 см.
