Взаимно положение на две окръжности

Избери решение на задача:

Дадено:
Окръжност \(k_1(O_1, r_1)\) и окръжност \(k_2(O_2, r_2)\)
\(k_1 \cap k_2 = \{A, B\}\)
AB е обща хорда
\(O_1O_2\) е централа

Да се докаже:
\(O_1O_2\) е симетрала (\(s\)) на AB.



Доказателство:
1. Разглеждаме окръжност \(k_1(O_1, r_1)\).
Тъй като точките A и B лежат на \(k_1\), то \(O_1A = O_1B = r_1\).
От свойството на симетралата следва, че щом точка \(O_1\) е на равни разстояния от A и B, тя лежи на симетралата на отсечката AB (т.е. \(O_1 \in s_{AB}\)).

2. Разглеждаме окръжност \(k_2(O_2, r_2)\).
Тъй като точките A и B лежат на \(k_2\), то \(O_2A = O_2B = r_2\).
Следователно, точка \(O_2\) също лежи на симетралата на отсечката AB (т.е. \(O_2 \in s_{AB}\)).

3. От (1) и (2) следва, че и двете точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат на симетралата на AB.
Тъй като през две точки минава само една права, то правата \(O_1O_2\) съвпада със симетралата на AB.
Следователно, централата \(O_1O_2\) е симетрала на общата хорда AB.
ч.т.д.

Стъпка 1: Построяване на чертеж и въвеждане на означения
Първо, нека си начертаем две окръжности, които се пресичат.

Начертайте две окръжности, \(k_1\) с център \(O_1\) и радиус \(r_1\), и \(k_2\) с център \(O_2\) и радиус \(r_2\). Позиционирайте центровете \(O_1\) и \(O_2\) така, че \(O_1\) да е отляво на \(O_2\), и линията \(O_1O_2\) да е хоризонтална. Двете окръжности се пресичат в две различни точки. Означете тези точки с A и B, като A е разположена над линията \(O_1O_2\), а B е под нея, симетрично спрямо \(O_1O_2\). Свържете точките A и B с отсечка, която е общата им хорда AB. Свържете и центровете \(O_1\) и \(O_2\) с отсечка, която е централата на двете окръжности. За по-голяма яснота, начертайте отсечките \(O_1A\), \(O_1B\), \(O_2A\) и \(O_2B\). Тези отсечки представляват радиуси: \(O_1A\) и \(O_1B\) са равни на \(r_1\), а \(O_2A\) и \(O_2B\) са равни на \(r_2\).
Имаме:
Окръжност \(k_1\) с център \(O_1\) и радиус \(r_1\).
Окръжност \(k_2\) с център \(O_2\) и радиус \(r_2\).
Пресечни точки A и B.
Отсечката AB е общата хорда на двете окръжности.
Правата, минаваща през \(O_1\) и \(O_2\), се нарича централа.

Нашата цел е да докажем, че централата \(O_1O_2\) е симетрала на хордата AB. Припомняме, че симетрала на отсечка е права, която е перпендикулярна на отсечката и минава през нейната среда.

Стъпка 2: Използване на свойствата на първата окръжност
Нека разгледаме окръжността \(k_1\) с център \(O_1\). По определение, всяка точка от една окръжност е на равно разстояние (равно на радиуса) от нейния център.
Тъй като точките A и B лежат на окръжността \(k_1\), разстоянията от центъра \(O_1\) до тях са равни на радиуса \(r_1\).
\[ O_1A = r_1 \text{ и } O_1B = r_1 \]
Оттук следва, че \(O_1A = O_1B\). Това означава, че точка \(O_1\) е на равно разстояние от краищата на отсечката AB.

Стъпка 3: Използване на свойствата на втората окръжност
По същия начин разглеждаме и втората окръжност \(k_2\) с център \(O_2\).
Тъй като точките A и B лежат и на окръжността \(k_2\), разстоянията от центъра \(O_2\) до тях са равни на радиуса \(r_2\).
\[ O_2A = r_2 \text{ и } O_2B = r_2 \]
Следователно, \(O_2A = O_2B\). Това означава, че и точка \(O_2\) е на равно разстояние от краищата на отсечката AB.

Стъпка 4: Прилагане на основно свойство на симетралата
Сега ще използваме ключово свойство на симетралата: Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на една отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка.
От Стъпка 2 доказахме, че точка \(O_1\) е на равни разстояния от A и B. Следователно, точка \(O_1\) лежи на симетралата на отсечката AB.
От Стъпка 3 доказахме, че точка \(O_2\) също е на равни разстояния от A и B. Следователно, точка \(O_2\) също лежи на симетралата на отсечката AB.


Стъпка 5: Заключение
Тъй като и двете точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат на симетралата на хордата AB, то правата, която минава през тях, трябва да бъде самата симетрала. (Спомняме си от аксиомите, че през две различни точки минава само една права).
Правата, минаваща през \(O_1\) и \(O_2\), е централата на двете окръжности.
Следователно, централата на двете окръжности е симетрала на общата им хорда.
С това доказателството е завършено.

Кратък запис на решението:

Нека са дадени окръжностите \(k_1(O_1, r_1)\) и \(k_2(O_2, r_2)\), които се пресичат в точки A и B.

1. От \(A, B \in k_1 \implies O_1A = O_1B = r_1\).
Това означава, че \(O_1\) лежи на симетралата на AB (\(s_{AB}\)).

2. От \(A, B \in k_2 \implies O_2A = O_2B = r_2\).
Това означава, че \(O_2\) лежи на симетралата на AB (\(s_{AB}\)).

3. Тъй като \(O_1 \in s_{AB}\) и \(O_2 \in s_{AB}\), следва че правата \(O_1O_2\) (централата) съвпада със симетралата \(s_{AB}\).

ч.т.д.

Най-важното от урока

Нека $d$ е разстоянието между центровете на две окръжности с радиуси $r_1$ и $r_2$ ($r_1 \ge r_2$).

Нямат общи точки: ако $d > r_1 + r_2$ или $d < r_1 - r_2$.
Допират се (1 обща точка): ако $d = r_1 + r_2$ (външно) или $d = r_1 - r_2$ (вътрешно).
Пресичат се (2 общи точки): ако $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$.
Обща хорда: Тя е винаги перпендикулярна на централата и се разполовява от нея.

Две окръжности са концентрични, ако центровете им съвпадат ($O_1 \equiv O_2$). Те или съвпадат (ако $r_1 = r_2$), или нямат общи точки (ако $r_1 \ne r_2$).

{Илюстрация на две концентрични окръжности с общ център и различни радиуси, които нямат общи точки.}

Две окръжности са ексцентрични, ако центровете им са различни ($O_1 \ne O_2$). Правата $O_1O_2$ се нарича централа, а разстоянието между центровете $d = O_1O_2$ е дължина на централата.

${Илюстрация на две ексцентрични окръжности с различни центрове $O_1$ и $O_2$, показваща централата $O_1O_2$ с дължина $d$.}$

Дадени са две окръжности $k_1$ и $k_2$ с центрове $O_1$ и $O_2$ и радиуси $r_1 = 5$ и $r_2 = 5$. Ако центровете им съвпадат, какво е взаимното им положение?

Отговор: Окръжностите са концентрични и съвпадат, защото имат общ център и равни радиуси.

Две окръжности нямат общи точки в два случая, в зависимост от дължината на централата $d$ и радиусите $r_1$ и $r_2$ (приемаме $r_1 \ge r_2$).

1. Едната окръжност е вътре в другата: $d < r_1 - r_2$ ${Илюстрация на по-малка окръжност, разположена изцяло в по-голямата, без да я докосва. Разстоянието между центровете $d$ е по-малко от разликата на радиусите $r_1-r_2$.}$

2. Окръжностите са външни една на друга: $d > r_1 + r_2$ ${Илюстрация на две окръжности, разположени външно една спрямо друга, без допирни точки. Разстоянието между центровете $d$ е по-голямо от сумата на радиусите $r_1+r_2$.}$

Дадени са $k_1(O_1; r_1=10)$ и $k_2(O_2; r_2=3)$. Ако $d=15$, окръжностите са външни една на друга, защото $15 > 10+3$. Ако $d=4$, $k_2$ е вътре в $k_1$, защото $4 < 10-3$.

Дадени са окръжности с $r_1 = 8$ cm и $r_2 = 2$ cm. При $d = 5$ cm имат ли общи точки?

Отговор: $r_1 - r_2 = 8 - 2 = 6$ cm. Тъй като $d=5 < 6$, то $k_2$ е вътре в $k_1$ и нямат общи точки.

Две окръжности са допирателни, ако имат точно една обща точка.

1. Вътрешно допиране: $d = r_1 - r_2$ ($r_1 > r_2$) ${Илюстрация на две окръжности, които се допират вътрешно в една точка. Разстоянието между центровете $d$ е равно на разликата на радиусите $r_1-r_2$.}$

2. Външно допиране: $d = r_1 + r_2$ ${Илюстрация на две окръжности, които се допират външно в една точка. Разстоянието между центровете $d$ е равно на сумата на радиусите $r_1+r_2$.}$

Дадени са $k_1(O_1; r_1=6)$ и $k_2(O_2; r_2=4)$. Ако $d=10$, те се допират външно ($10=6+4$). Ако $d=2$, се допират вътрешно ($2=6-4$).

Две окръжности с радиуси $r_1=9$ и $r_2=5$ се допират външно. Колко е разстоянието между центровете им?

Отговор: При външно допиране $d = r_1 + r_2 = 9 + 5 = 14$.

Две окръжности са пресичащи се, ако имат точно две общи точки.

Окръжностите се пресичат, когато е изпълнено двойното неравенство: \[ r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2 \] ${Илюстрация на две пресичащи се окръжности. Условието $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ е изпълнено.}$

Дадени са $k_1(O_1; r_1=7)$ и $k_2(O_2; r_2=3)$. Ако $d=5$, окръжностите се пресичат, защото $7-3 < 5 < 7+3$, тоест $4 < 5 < 10$.

Дадени са окръжности с $r_1=12$ и $r_2=8$. Ще се пресичат ли, ако разстоянието между центровете им е $d=15$?

Отговор: Да. Проверяваме неравенството: $12-8 < 15 < 12+8$. Получаваме $4 < 15 < 20$, което е вярно.

Теорема: Общата хорда на две пресичащи се окръжности е перпендикулярна на централата им и се разполовява от нея. ${Диаграма на две пресичащи се окръжности с обща хорда $AB$ и централа $O_1O_2$. Централата е перпендикулярна на хордата ($O_1O_2 \perp AB$) и я разполовява в точката на пресичане.}$

Ако две окръжности се пресичат в точки $A$ и $B$, а централата им $O_1O_2$ пресича хордата $AB$ в точка $P$, то $\angle O_1PA = 90^\circ$ и $AP = PB$.

Две окръжности се пресичат в точки $M$ и $N$. Общата им хорда $MN$ е с дължина 16 cm. Централата им пресича хордата в точка $K$. Намерете дължината на отсечката $MK$.

Отговор: Централата разполовява общата хорда. Следователно $MK = \frac{MN}{2} = \frac{16}{2} = 8$ cm.

Задачи за упражнение

Лесна: Дадени са две окръжности $k_1(O_1; 8 \text{ cm})$ и $k_2(O_2; 5 \text{ cm})$. Какво е взаимното им положение, ако централата им е $d = 3 \text{ cm}$?

Пресмятаме $r_1 - r_2 = 8 - 5 = 3$ cm. Тъй като $d = r_1 - r_2$, окръжностите се допират вътрешно.

Средна: Две окръжности с радиуси $r_1=11$ cm и $r_2=4$ cm се пресичат. Какви стойности може да приема разстоянието $d$ между центровете им?

За да се пресичат, трябва да е изпълнено $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$.
$11 - 4 < d < 11 + 4$
$7 < d < 15$
Отговор: Разстоянието $d$ трябва да е по-голямо от 7 cm и по-малко от 15 cm.

Трудна: Дадени са три окръжности $k_1(O_1; r_1=6 \text{ cm}), k_2(O_2; r_2=4 \text{ cm})$ и $k_3(O_3; r_3=2 \text{ cm})$, които се допират две по две външно. Намерете периметъра на триъгълника $\triangle O_1O_2O_3$, образуван от техните центрове. ${Диаграма на три окръжности, допиращи се външно една до друга, с центрове $O_1, O_2, O_3$. Страните на триъгълника $O_1O_2O_3$ са суми от съответните радиуси.}$

Страните на триъгълника са равни на сумите от радиусите на допиращите се окръжности:
$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 6 + 4 = 10$ cm
$O_2O_3 = r_2 + r_3 = 4 + 2 = 6$ cm
$O_1O_3 = r_1 + r_3 = 6 + 2 = 8$ cm
Периметърът е $P_{O_1O_2O_3} = 10 + 6 + 8 = 24$ cm.

61. Взаимно положение на две окръжности

Избери решение на задача:

Стъпка 1: Построяване на чертеж и въвеждане на означения

Стъпка 2: Използване на свойствата на първата окръжност

Стъпка 3: Използване на свойствата на втората окръжност

Стъпка 4: Прилагане на основно свойство на симетралата

Стъпка 5: Заключение

Кратък запис на решението:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Стъпка 1: Построяване на чертеж и въвеждане на означения

Стъпка 2: Използване на свойствата на първата окръжност

Стъпка 3: Използване на свойствата на втората окръжност

Стъпка 4: Прилагане на основно свойство на симетралата

Стъпка 5: Заключение

Кратък запис на решението:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: