Най-важното от урока
Подобни триъгълници (\(\sim\)): Имат равни съответни ъгли и пропорционални съответни страни.
Признаци за доказване:
Признаци за доказване:
- I признак: Два равни ъгъла.
- II признак: Две пропорционални страни и равен ъгъл между тях.
- III признак: Три пропорционални страни.
- Отношението на периметри, височини, медиани и др. е \(k\). Пример: \( \frac{P_1}{P_2} = k \).
- Отношението на лицата е \(k^2\). Пример: \( \frac{S_1}{S_2} = k^2 \).
Два триъгълника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) се наричат подобни (означава се \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \)), ако съответните им ъгли са равни и съответните им страни са пропорционални.
\[ \sphericalangle A = \sphericalangle A_1, \quad \sphericalangle B = \sphericalangle B_1, \quad \sphericalangle C = \sphericalangle C_1 \]
\[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \]
Числото \(k\) се нарича коефициент на подобие.
Дадено е, че \( \triangle ABC \sim \triangle MNP \) с коефициент на подобие \( k = 2 \). Ако страните на \( \triangle MNP \) са 3 cm, 4 cm и 5 cm, то страните на \( \triangle ABC \) са съответно \( 2 \cdot 3 = 6 \) cm, \( 2 \cdot 4 = 8 \) cm и \( 2 \cdot 5 = 10 \) cm.
Дадено е, че \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \). Ако \( AB = 12 \) cm, \( BC = 15 \) cm и съответната страна \( A_1B_1 = 8 \) cm, намерете дължината на \( B_1C_1 \).
От пропорционалността на страните следва \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} \).
\( \frac{12}{8} = \frac{15}{B_1C_1} \Rightarrow 12 \cdot B_1C_1 = 8 \cdot 15 \Rightarrow B_1C_1 = \frac{120}{12} = 10 \) cm.
\( \frac{12}{8} = \frac{15}{B_1C_1} \Rightarrow 12 \cdot B_1C_1 = 8 \cdot 15 \Rightarrow B_1C_1 = \frac{120}{12} = 10 \) cm.
Ако два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник, то двата триъгълника са подобни.
В \( \triangle ABC \), \( \sphericalangle A = 50^\circ \) и \( \sphericalangle B = 70^\circ \). В \( \triangle MNP \), \( \sphericalangle M = 50^\circ \) и \( \sphericalangle N = 70^\circ \). Следователно \( \triangle ABC \sim \triangle MNP \) по първи признак.
В правоъгълния \( \triangle ABC \) (\( \sphericalangle C = 90^\circ \)) \( \sphericalangle A = 35^\circ \). В правоъгълния \( \triangle PQR \) (\( \sphericalangle R = 90^\circ \)) \( \sphericalangle Q = 55^\circ \). Подобни ли са двата триъгълника?
В \( \triangle ABC \), \( \sphericalangle B = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).
Имаме \( \sphericalangle C = \sphericalangle R = 90^\circ \) и \( \sphericalangle B = \sphericalangle Q = 55^\circ \).
Отговор: Да, подобни са по първи признак.
Отговор: Да, подобни са по първи признак.
Ако две страни от един триъгълник са пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тях, са равни, то двата триъгълника са подобни.
В \( \triangle ABC \) страните \( AB=6, AC=9 \) и \( \sphericalangle A=40^\circ \). В \( \triangle A_1B_1C_1 \) страните \( A_1B_1=4, A_1C_1=6 \) и \( \sphericalangle A_1=40^\circ \).
Тъй като \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \), \( \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \) и \( \sphericalangle A = \sphericalangle A_1 \), то \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) по втори признак.
Дадени са \( \triangle ABC \) с \(BC=10\), \(AC=12\), \( \sphericalangle C = 30^\circ \) и \( \triangle MNP \) с \(NP=15\), \(MP=18\), \( \sphericalangle P = 30^\circ \). Подобни ли са?
Проверяваме съотношението на страните: \( \frac{BC}{NP} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \) и \( \frac{AC}{MP} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \).
Ъгълът между тях е равен: \( \sphericalangle C = \sphericalangle P = 30^\circ \).
Отговор: Да, подобни са по втори признак.
Отговор: Да, подобни са по втори признак.
Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг триъгълник, то двата триъгълника са подобни.
\( \triangle ABC \) има страни 5, 6, 7. \( \triangle A_1B_1C_1 \) има страни 10, 12, 14.
Тъй като \( \frac{5}{10} = \frac{6}{12} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \), триъгълниците са подобни по трети признак.
Триъгълник има страни 8, 10, 12. Друг триъгълник има страни 12, 15, 18. Подобни ли са?
Подреждаме страните по големина и проверяваме съотношенията:
\( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \), \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \), \( \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \).
Отговор: Да, подобни са по трети признак.
\( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \), \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \), \( \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \).
Отговор: Да, подобни са по трети признак.
При подобни триъгълници, отношението на всички съответни линейни елементи (периметри, височини, медиани, ъглополовящи, радиуси на вписани и описани окръжности) е равно на коефициента на подобие \(k\).
\[ \frac{P}{P_1} = \frac{h_a}{h_{a1}} = \frac{m_b}{m_{b1}} = \frac{l_c}{l_{c1}} = \frac{R}{R_1} = \frac{r}{r_1} = k \]
\( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) с \( k=3 \). Ако височината \( h_{a1} \) в малкия триъгълник е 4 cm, то съответната височина в големия е \( h_a = k \cdot h_{a1} = 3 \cdot 4 = 12 \) cm.
Периметрите на два подобни триъгълника са 24 cm и 36 cm. Намерете коефициента на подобие.
\( k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} = 1.5 \).
Отношението на лицата на два подобни триъгълника е равно на квадрата на коефициента на подобие (\(k^2\)).
\[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \]
\( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) с коефициент на подобие \( k=4 \). Ако лицето \( S_{A_1B_1C_1} = 5 \text{ cm}^2 \), то лицето \( S_{ABC} = k^2 \cdot S_{A_1B_1C_1} = 4^2 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80 \text{ cm}^2 \).
Страните на два подобни триъгълника се отнасят както 2:5. Лицето на по-големия е 75 cm². Намерете лицето на по-малкия.
Коефициентът на подобие от малкия към големия е \( k = \frac{2}{5} \).
\( \frac{S_{малък}}{S_{голям}} = k^2 \Rightarrow \frac{S_{малък}}{75} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25} \).
\( S_{малък} = 75 \cdot \frac{4}{25} = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}^2 \).
\( \frac{S_{малък}}{S_{голям}} = k^2 \Rightarrow \frac{S_{малък}}{75} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25} \).
\( S_{малък} = 75 \cdot \frac{4}{25} = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}^2 \).
Във всеки триъгълник ъглополовящата на даден ъгъл дели срещулежащата страна на отсечки, пропорционални на прилежащите към ъгъла страни.
Ако CL е ъглополовяща на \( \sphericalangle C \) в \( \triangle ABC \):
\[ \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} \]
В \( \triangle ABC \) ъглополовящата \( CL \) дели страната \(AB\) на отсечки \( AL=4 \) и \( LB=6 \). Ако \( AC=8 \), то за да намерим \(BC\), използваме:
\( \frac{4}{6} = \frac{8}{BC} \Rightarrow 4 \cdot BC = 48 \Rightarrow BC=12 \).
В \( \triangle ABC \) страните са \(AC=9\) cm и \(BC=12\) cm. Ъглополовящата \(CL\) има дължина, която разделя \(AB\) на отсечки. Ако \(AB = 14\) cm, намерете \(AL\) и \(LB\).
Нека \( AL=x \). Тогава \( LB = 14-x \).
От свойството: \( \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{x}{14-x} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).
\( 4x = 3(14-x) \Rightarrow 4x = 42 - 3x \Rightarrow 7x=42 \Rightarrow x=6 \).
Отговор: \( AL=6 \) cm и \( LB=14-6=8 \) cm.
От свойството: \( \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{x}{14-x} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).
\( 4x = 3(14-x) \Rightarrow 4x = 42 - 3x \Rightarrow 7x=42 \Rightarrow x=6 \).
Отговор: \( AL=6 \) cm и \( LB=14-6=8 \) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Дадено е, че \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \). Страните на \( \triangle ABC \) са \(AB=8\), \(BC=10\), \(AC=12\). Най-малката страна на \( \triangle PQR \) e \(PQ=12\). Намерете другите две страни на \( \triangle PQR \).
Най-малката страна в \( \triangle ABC \) е \(AB=8\). Съответната й страна е \(PQ=12\).
Коефициентът на подобие е \( k = \frac{PQ}{AB} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \).
\( QR = k \cdot BC = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 \).
\( PR = k \cdot AC = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \).
Отговор: Страните са 15 и 18.
Коефициентът на подобие е \( k = \frac{PQ}{AB} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \).
\( QR = k \cdot BC = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 \).
\( PR = k \cdot AC = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \).
Отговор: Страните са 15 и 18.
Средна: Отношението на лицата на два подобни триъгълника е 9:25. Периметърът на по-малкия е 36 cm. Намерете периметъра на по-големия.
От \( \frac{S_1}{S_2} = k^2 \) имаме \( k^2 = \frac{9}{25} \), откъдето коефициентът на подобие \( k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
Отношението на периметрите е равно на коефициента на подобие: \( \frac{P_1}{P_2} = k \).
\( \frac{36}{P_2} = \frac{3}{5} \Rightarrow 3 \cdot P_2 = 36 \cdot 5 \Rightarrow P_2 = \frac{180}{3} = 60 \) cm.
Отговор: Периметърът на по-големия триъгълник е 60 cm.
Отношението на периметрите е равно на коефициента на подобие: \( \frac{P_1}{P_2} = k \).
\( \frac{36}{P_2} = \frac{3}{5} \Rightarrow 3 \cdot P_2 = 36 \cdot 5 \Rightarrow P_2 = \frac{180}{3} = 60 \) cm.
Отговор: Периметърът на по-големия триъгълник е 60 cm.
Трудна: В трапец \(ABCD\) (\(AB || CD\)) диагоналите \(AC\) и \(BD\) се пресичат в точка \(O\). Ако \(AB = 16\) cm, \(CD = 8\) cm и \(AC = 21\) cm, намерете дължините на отсечките \(AO\) и \(CO\).
Разглеждаме \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \).
1. \( \sphericalangle BAO = \sphericalangle DCO \) (кръстни ъгли, понеже \(AB || CD\))
2. \( \sphericalangle ABO = \sphericalangle CDO \) (кръстни ъгли, понеже \(AB || CD\))
Следователно \( \triangle ABO \sim \triangle CDO \) по първи признак (АА).
Коефициентът на подобие е \( k = \frac{AB}{CD} = \frac{16}{8} = 2 \).
От подобието следва \( \frac{AO}{CO} = k = 2 \), т.е. \( AO = 2 \cdot CO \).
Знаем, че \( AO + CO = AC = 21 \).
Заместваме: \( 2 \cdot CO + CO = 21 \Rightarrow 3 \cdot CO = 21 \Rightarrow CO = 7 \) cm.
Тогава \( AO = 2 \cdot 7 = 14 \) cm.
Отговор: \( AO = 14 \) cm, \( CO = 7 \) cm.
1. \( \sphericalangle BAO = \sphericalangle DCO \) (кръстни ъгли, понеже \(AB || CD\))
2. \( \sphericalangle ABO = \sphericalangle CDO \) (кръстни ъгли, понеже \(AB || CD\))
Следователно \( \triangle ABO \sim \triangle CDO \) по първи признак (АА).
Коефициентът на подобие е \( k = \frac{AB}{CD} = \frac{16}{8} = 2 \).
От подобието следва \( \frac{AO}{CO} = k = 2 \), т.е. \( AO = 2 \cdot CO \).
Знаем, че \( AO + CO = AC = 21 \).
Заместваме: \( 2 \cdot CO + CO = 21 \Rightarrow 3 \cdot CO = 21 \Rightarrow CO = 7 \) cm.
Тогава \( AO = 2 \cdot 7 = 14 \) cm.
Отговор: \( AO = 14 \) cm, \( CO = 7 \) cm.
