Най-важното от урока
Квадратни неравенства: Намираме корените и определяме интервала според знака и параболата (между или извън корените). Пример: \(x^2-4>0 \Rightarrow (x-2)(x+2)>0 \Rightarrow x \in (-\infty;-2)\cup(2;\infty)\).
Метод на интервалите: Разлагаме на множители, нанасяме нулите на ос, редуваме знаците и избираме правилните интервали. Внимаваме за корени с четна кратност! Пример: \(x(x-1)(x-2)<0 \Rightarrow x\in(-\infty;0)\cup(1;2)\).
Дробни неравенства: Свеждаме до \(\frac{P(x)}{Q(x)}>0\) и решаваме \(P(x)\cdot Q(x)>0\), като изключваме нулите на знаменателя. Пример: \(\frac{x}{x-3}\ge0 \Rightarrow x(x-3)\ge0\) при \(x\ne3 \Rightarrow x\in(-\infty;0]\cup(3;\infty)\).
Системи неравенства: Решаваме всяко неравенство поотделно и намираме общата част (сечението) на решенията им.
Метод на интервалите: Разлагаме на множители, нанасяме нулите на ос, редуваме знаците и избираме правилните интервали. Внимаваме за корени с четна кратност! Пример: \(x(x-1)(x-2)<0 \Rightarrow x\in(-\infty;0)\cup(1;2)\).
Дробни неравенства: Свеждаме до \(\frac{P(x)}{Q(x)}>0\) и решаваме \(P(x)\cdot Q(x)>0\), като изключваме нулите на знаменателя. Пример: \(\frac{x}{x-3}\ge0 \Rightarrow x(x-3)\ge0\) при \(x\ne3 \Rightarrow x\in(-\infty;0]\cup(3;\infty)\).
Системи неравенства: Решаваме всяко неравенство поотделно и намираме общата част (сечението) на решенията им.
Решението на квадратно неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\) (или \<, ≥, ≤) зависи от знака на коефициента \(a\) и стойността на дискриминантата \(D = b^2 - 4ac\). Тук разглеждаме случая \(a>0\) (параболата е обърната нагоре).
Намираме корените \(x_1\) и \(x_2\) на уравнението \(ax^2 + bx + c = 0\).
- Ако D > 0 (два различни корена \(x_1 < x_2\)):
- \(ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)\) (извън корените)
- \(ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow x \in (x_1, x_2)\) (между корените)
- Ако D = 0 (един двоен корен \(x_1=x_2\)):
- \(ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R} \setminus \{x_1\}\) (всяко х без корена)
- \(ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow\) няма решение
- \(ax^2+bx+c \ge 0 \Rightarrow\) всяко \(x \in \mathbb{R}\)
- \(ax^2+bx+c \le 0 \Rightarrow\) само \(x = x_1\)
- Ако D < 0 (няма реални корени):
- \(ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow\) всяко \(x \in \mathbb{R}\)
- \(ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow\) няма решение
Да решим \(x^2 - 2x - 8 > 0\).
1. Корените на \(x^2 - 2x - 8 = 0\) са \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 4\).
2. Дискриминантата е \(D > 0\). Тъй като знакът на неравенството е ">", решението е извън корените.
Отговор: \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
1. Корените на \(x^2 - 2x - 8 = 0\) са \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 4\).
2. Дискриминантата е \(D > 0\). Тъй като знакът на неравенството е ">", решението е извън корените.
Отговор: \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
Решете неравенството \(x^2 + 7x + 12 \ge 0\).
Корените на \(x^2 + 7x + 12 = 0\) са \(x_1 = -4\) и \(x_2 = -3\). Тъй като знакът е "≥", решението включва корените и интервалите извън тях.
Отговор: \(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)\).
Отговор: \(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)\).
Това е универсален метод за решаване на неравенства от вида \(P(x) > 0\), където \(P(x)\) е полином, представен като произведение от множители.
Привеждаме неравенството във вид, в който едната страна е 0, а другата е произведение от множители, напр. \((x-a)(x-b)(x-c) > 0\).
Намираме корените (нулите) на всеки множител и ги нанасяме върху числовата ос.
Определяме знака в най-десния интервал (той е "+" ако пред най-високата степен на \(x\) има "+"). След това редуваме знаците през всеки корен.
Ако даден корен се повтаря четен брой пъти (напр. от множител \((x-a)^2\)), знакът при преминаване през него не се променя.
Избираме интервалите, които отговарят на знака на неравенството.
Да решим \((x+5)(x-3)^2(x-8) < 0\).
1. Нулите са -5, 3 (двоен корен) и 8.
2. Нанасяме ги на оста.
3. Търсим интервалите със знак "-".
Отговор: \(x \in (-5; 3) \cup (3; 8)\). (Точката 3 не е включена, защото неравенството е строго).
1. Нулите са -5, 3 (двоен корен) и 8.
2. Нанасяме ги на оста.
3. Търсим интервалите със знак "-".
Отговор: \(x \in (-5; 3) \cup (3; 8)\). (Точката 3 не е включена, защото неравенството е строго).
Решете неравенството \((x+2)(x-1)(x-4) \ge 0\).
Нулите са -2, 1 и 4. Редуваме знаците (+, -, +, -) отдясно наляво. Търсим интервалите със знак "+".
Отговор: \(x \in [-2; 1] \cup [4; +\infty)\).
Отговор: \(x \in [-2; 1] \cup [4; +\infty)\).
Неравенства от вида \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) се решават, като се сведат до неравенство с произведение \(P(x) \cdot Q(x) > 0\) и се приложи методът на интервалите.
Прехвърляме всичко от едната страна на неравенството, така че от другата да остане 0, и привеждаме под общ знаменател.
Заменяме неравенството \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) с еквивалентното му \(P(x) \cdot Q(x) > 0\).
Винаги изключваме от решенията стойностите на \(x\), за които знаменателят \(Q(x)\) става 0 (дефиниционно множество).
Решаваме полученото неравенство с метода на интервалите.
Да решим \(\frac{4}{x(x-2)} \ge 0\).
1. Тъй като числителят (4) е положителен, дробта е \(\ge 0\), когато знаменателят е положителен: \(x(x-2) > 0\). (Забележете, че знаменателят не може да е 0).
2. Решаваме \(x(x-2) > 0\) с метода на интервалите. Корените са 0 и 2.
Отговор: \(x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\).
1. Тъй като числителят (4) е положителен, дробта е \(\ge 0\), когато знаменателят е положителен: \(x(x-2) > 0\). (Забележете, че знаменателят не може да е 0).
2. Решаваме \(x(x-2) > 0\) с метода на интервалите. Корените са 0 и 2.
Отговор: \(x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\).
Решете неравенството \(\frac{x-5}{x+1} \le 0\).
Решаваме \((x-5)(x+1) \le 0\). Корените са -1 и 5. Решението е между тях. Трябва да изключим \(x=-1\), защото е в знаменателя.
Отговор: \(x \in (-1; 5]\).
Отговор: \(x \in (-1; 5]\).
Решение на система неравенства е сечението (общата част) от решенията на всяко неравенство в системата.
Решаваме всяко неравенство поотделно.
Нанасяме решенията на всички неравенства върху една числова ос и намираме интервалите, които принадлежат на всички решения едновременно.
Да решим системата \(\begin{cases} x^2 - 2x - 8 > 0 \\ x^2 + 7x + 12 \ge 0 \end{cases}\)
1. Решението на първото е \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
2. Решението на второто е \(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)\).
3. Намираме сечението на двата числови интервала.{Две числови оси една под друга, показващи решенията на двете неравенства. Трета ос отдолу показва общата им част (сечението).}
Отговор: \(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; -2) \cup (4; +\infty)\).
1. Решението на първото е \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
2. Решението на второто е \(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; +\infty)\).
3. Намираме сечението на двата числови интервала.
Отговор: \(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; -2) \cup (4; +\infty)\).
Решете системата \(\begin{cases} x > 1 \\ x^2 - 16 \le 0 \end{cases}\)
Първото неравенство е решено: \(x \in (1; \infty)\).
Второто неравенство \((x-4)(x+4) \le 0\) има решение \(x \in [-4; 4]\).
Сечението на \((1; \infty)\) и \([-4; 4]\) е \(x \in (1; 4]\).
Отговор: \(x \in (1; 4]\).
Второто неравенство \((x-4)(x+4) \le 0\) има решение \(x \in [-4; 4]\).
Сечението на \((1; \infty)\) и \([-4; 4]\) е \(x \in (1; 4]\).
Отговор: \(x \in (1; 4]\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете квадратното неравенство \(x^2 - 5x + 4 < 0\).
Корените на уравнението \(x^2 - 5x + 4 = 0\) са \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 4\). Тъй като коефициентът пред \(x^2\) е положителен и знакът на неравенството е "<", решението е интервалът между корените.
Отговор: \(x \in (1; 4)\).
Отговор: \(x \in (1; 4)\).
Средна: Решете чрез метода на интервалите: \((x^2-9)(x-1)^2 \le 0\).
Разлагаме на множители: \((x-3)(x+3)(x-1)^2 \le 0\).
Нулите са \(x_1 = -3\), \(x_2 = 3\) и \(x_3 = 1\) (двоен корен).
Нанасяме ги на числовата ос. Знаците в интервалите отдясно наляво са: +, -, -(не се сменя при 1), +.
Търсим интервалите със знак "-" или 0. Това са \([-3; 1]\) и \([1; 3]\), които се обединяват в \([-3; 3]\).
Отговор: \(x \in [-3; 3]\).
Нулите са \(x_1 = -3\), \(x_2 = 3\) и \(x_3 = 1\) (двоен корен).
Нанасяме ги на числовата ос. Знаците в интервалите отдясно наляво са: +, -, -(не се сменя при 1), +.
Търсим интервалите със знак "-" или 0. Това са \([-3; 1]\) и \([1; 3]\), които се обединяват в \([-3; 3]\).
Отговор: \(x \in [-3; 3]\).
Трудна: Решете дробното неравенство \(\frac{x+1}{x-2} > \frac{3}{x-2}\).
Първо, дефиниционното множество изисква \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\).
Прехвърляме всичко от едната страна: \[\frac{x+1}{x-2} - \frac{3}{x-2} > 0\] \[\frac{x+1-3}{x-2} > 0\] \[\frac{x-2}{x-2} > 0\] За всяко \(x \neq 2\), изразът е равен на 1. Неравенството \(1 > 0\) е винаги вярно.
Следователно, решение е всяко \(x\) от дефиниционното множество.
Отговор: \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).
Прехвърляме всичко от едната страна: \[\frac{x+1}{x-2} - \frac{3}{x-2} > 0\] \[\frac{x+1-3}{x-2} > 0\] \[\frac{x-2}{x-2} > 0\] За всяко \(x \neq 2\), изразът е равен на 1. Неравенството \(1 > 0\) е винаги вярно.
Следователно, решение е всяко \(x\) от дефиниционното множество.
Отговор: \(x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).
