Най-важното от урока
Ключови стратегии за намиране на лице на съставна фигура:
1. Разделяне: Разделяш сложната фигура на прости (правоъгълник, триъгълник, трапец) и събираш лицата им.
2. Допълване: Поставяш фигурата в голям правоъгълник и от неговото лице изваждаш лицето на "излишните" части.
Необходими формули: \(S_{пр.} = a \cdot b\), \(S_{тр.} = \frac{a \cdot h_a}{2}\), \(S_{трапец} = \frac{a+b}{2} \cdot h\).
1. Разделяне: Разделяш сложната фигура на прости (правоъгълник, триъгълник, трапец) и събираш лицата им.
2. Допълване: Поставяш фигурата в голям правоъгълник и от неговото лице изваждаш лицето на "излишните" части.
Необходими формули: \(S_{пр.} = a \cdot b\), \(S_{тр.} = \frac{a \cdot h_a}{2}\), \(S_{трапец} = \frac{a+b}{2} \cdot h\).
Лице на съставна фигура можем да намерим, като я разделим на познати фигури (правоъгълници, триъгълници, трапеци), намерим лицето на всяка от тях и ги съберем.
\( S_{\text{фигура}} = S_1 + S_2 + S_3 + \dots \)
1. Намираме лицето на правоъгълника (размери 7 см и 6 см): \(S_1 = 7 \cdot 6 = 42 \text{ см}^2\).
2. Намираме лицето на трапеца (основи 11 см и 5 см, височина 4 см): \(S_2 = \frac{11 + 5}{2} \cdot 4 = 32 \text{ см}^2\).
3. Събираме лицата: \(S_{\text{фигура}} = S_1 + S_2 = 42 + 32 = 74 \text{ см}^2\).
Намерете лицето на фигура с формата на буквата "L", съставена от два правоъгълника: един с размери 2 см на 5 см и друг с размери 4 см на 2 см, долепен до късата страна на първия.
\(S_1 = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}^2\)
\(S_2 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{фигура}} = 10 + 8 = 18 \text{ см}^2\).
\(S_2 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{фигура}} = 10 + 8 = 18 \text{ см}^2\).
Лице на съставна фигура можем да намерим, като я допълним до проста фигура (най-често правоъгълник), намерим лицето на голямата фигура и от него извадим лицата на "изрязаните" части.
\( S_{\text{фигура}} = S_{\text{голяма фигура}} - S_{\text{изрязана част}} \)
1. Намираме лицето на големия правоъгълник (10 см на 7 см): \(S_1 = 10 \cdot 7 = 70 \text{ см}^2\).
2. Намираме лицето на изрязания трапец (основи 10 см и 4 см, височина 3 см): \(S_2 = \frac{10 + 4}{2} \cdot 3 = 21 \text{ см}^2\).
3. Изваждаме лицата: \(S_{\text{фигура}} = S_1 - S_2 = 70 - 21 = 49 \text{ см}^2\).
Намерете лицето на квадрат със страна 10 см, от който е изрязан правоъгълен триъгълник с катети 4 см и 5 см в един от ъглите.
Лице на квадрата: \(S_{\text{квадрат}} = 10 \cdot 10 = 100 \text{ см}^2\).
Лице на изрязания триъгълник: \(S_{\text{триъг.}} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \text{ см}^2\).
Лице на фигурата: \(S_{\text{фигура}} = 100 - 10 = 90 \text{ см}^2\).
Лице на изрязания триъгълник: \(S_{\text{триъг.}} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \text{ см}^2\).
Лице на фигурата: \(S_{\text{фигура}} = 100 - 10 = 90 \text{ см}^2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Фигура е съставена от квадрат със страна 5 см и равностранен триъгълник, построен върху една от страните му. Височината на триъгълника е 4,3 см. Намерете лицето на фигурата.
Задачата се решава с метода на събирането.
\(S_{\text{квадрат}} = 5 \cdot 5 = 25 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{триъгълник}} = \frac{5 \cdot 4,3}{2} = \frac{21,5}{2} = 10,75 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{фигура}} = 25 + 10,75 = 35,75 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{квадрат}} = 5 \cdot 5 = 25 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{триъгълник}} = \frac{5 \cdot 4,3}{2} = \frac{21,5}{2} = 10,75 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{фигура}} = 25 + 10,75 = 35,75 \text{ см}^2\)
Средна: От правоъгълник с размери 12 см на 8 см са изрязани два еднакви триъгълника от два срещуположни ъгъла. Всеки триъгълник има катети 3 см и 4 см, които лежат върху страните на правоъгълника. Намерете лицето на останалата част.
Задачата се решава с метода на изваждането.
\(S_{\text{правоъгълник}} = 12 \cdot 8 = 96 \text{ см}^2\)
Лицето на един изрязан триъгълник е: \(S_{\text{триъг.}} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ см}^2\)
Общо изрязано лице: \(2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{фигура}} = 96 - 12 = 84 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{правоъгълник}} = 12 \cdot 8 = 96 \text{ см}^2\)
Лицето на един изрязан триъгълник е: \(S_{\text{триъг.}} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ см}^2\)
Общо изрязано лице: \(2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2\)
\(S_{\text{фигура}} = 96 - 12 = 84 \text{ см}^2\)
Трудна: Намерете лицето на фигурата от чертежа, ако всяко квадратче от мрежата е със страна 1 см.
Задачата се решава най-лесно с метода на изваждането.
1. Допълваме фигурата до голям правоъгълник с размери 10 см на 6 см.
Лице на правоъгълника: \(S_{\text{правоъгълник}} = 10 \cdot 6 = 60 \text{ см}^2\).
2. Намираме лицата на двата правоъгълни триъгълника, които са изрязани от горните ъгли.
Ляв триъгълник (с катети 4 см и 4 см): \(S_1 = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ см}^2\).
Десен триъгълник (с катети 2 см и 4 см): \(S_2 = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 \text{ см}^2\).
3. Изваждаме лицата на триъгълниците от лицето на големия правоъгълник.
\(S_{\text{фигура}} = S_{\text{правоъгълник}} - (S_1 + S_2) = 60 - (8 + 4) = 60 - 12 = 48 \text{ см}^2\).
1. Допълваме фигурата до голям правоъгълник с размери 10 см на 6 см.
Лице на правоъгълника: \(S_{\text{правоъгълник}} = 10 \cdot 6 = 60 \text{ см}^2\).
2. Намираме лицата на двата правоъгълни триъгълника, които са изрязани от горните ъгли.
Ляв триъгълник (с катети 4 см и 4 см): \(S_1 = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8 \text{ см}^2\).
Десен триъгълник (с катети 2 см и 4 см): \(S_2 = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 \text{ см}^2\).
3. Изваждаме лицата на триъгълниците от лицето на големия правоъгълник.
\(S_{\text{фигура}} = S_{\text{правоъгълник}} - (S_1 + S_2) = 60 - (8 + 4) = 60 - 12 = 48 \text{ см}^2\).
