38. Събиране и Изваждане на Обикновени Дроби. Упражнение

а) \( x+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{5}{6}-\displaystyle\frac{1}{4} \)

Определяме неизвестния компонент

В това уравнение \( x \) е неизвестно събираемо. За да намерим неизвестно събираемо, изваждаме известното събираемо от сбора: \[ x = \left(\displaystyle\frac{5}{6} - \displaystyle\frac{1}{4}\right) - \displaystyle\frac{1}{4} \] Прилагаме свойството за изваждане на сбор от число или прегрупираме изваждането на двете равни части: \[ x = \displaystyle\frac{5}{6} - \left(\displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{4}\right) \] \[ x = \displaystyle\frac{5}{6} - \displaystyle\frac{2}{4} \]

Съкращаваме дробта

Съкращаваме дробта \( \displaystyle\frac{2}{4} \) на \( 2 \): \[ \displaystyle\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{4}_2} = \displaystyle\frac{1}{2} \] Уравнението добива вида: \[ x = \displaystyle\frac{5}{6} - \displaystyle\frac{1}{2} \]

Привеждаме към общ знаменател и пресмятаме

Намираме най-малкото общо кратно: \( \text{НОК}(6, 2) = 6 \). Допълнителният множител за втората дроб е \( 6 : 2 = 3 \): \[ x = \underbrace{\displaystyle\frac{5}{6} - \displaystyle\frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{1}}{2}}_{6} = \displaystyle\frac{5}{6} - \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{2}{6} \] Съкращаваме получената дроб на \( 2 \): \[ x = \displaystyle\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{6}_3} = \displaystyle\frac{1}{3} \]

б) \( x-\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{3}{4}-\displaystyle\frac{2}{3} \)

Пресмятаме дясната страна на равенството

Намираме общ знаменател за дробите в дясната страна: \( \text{НОК}(4, 3) = 12 \). Допълнителните множители са \( 12 : 4 = 3 \) и \( 12 : 3 = 4 \): \[ x - \displaystyle\frac{1}{3} = \underbrace{\displaystyle\frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{3}}{4} - \displaystyle\frac{\overset{\overset{4}{\smile}}{2}}{3}}_{12} \] \[ x - \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{9}{12} - \displaystyle\frac{8}{12} \] \[ x - \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{1}{12} \]

Намираме неизвестното умаляемо

В полученото уравнение \( x \) е неизвестно умаляемо. За да го намерим, събираме разликата с умалителя: \[ x = \displaystyle\frac{1}{12} + \displaystyle\frac{1}{3} \]

Привеждаме към общ знаменател и пресмятаме

Намираме \( \text{НОК}(12, 3) = 12 \). Допълнителният множител за втората дроб е \( 12 : 3 = 4 \): \[ x = \underbrace{\displaystyle\frac{1}{12} + \displaystyle\frac{\overset{\overset{4}{\smile}}{1}}{3}}_{12} = \displaystyle\frac{1}{12} + \displaystyle\frac{4}{12} = \displaystyle\frac{5}{12} \]

в) \( \displaystyle\frac{7}{9}-x=\displaystyle\frac{2}{3}-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Пресмятаме дясната страна на равенството

Намираме най-малкия общ знаменател: \( \text{НОК}(3, 2) = 6 \). Допълнителните множители са съответно \( 6 : 3 = 2 \) и \( 6 : 2 = 3 \): \[ \displaystyle\frac{7}{9} - x = \underbrace{\displaystyle\frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{2}}{3} - \displaystyle\frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{1}}{2}}_{6} \] \[ \displaystyle\frac{7}{9} - x = \displaystyle\frac{4}{6} - \displaystyle\frac{3}{6} \] \[ \displaystyle\frac{7}{9} - x = \displaystyle\frac{1}{6} \]

Намираме неизвестния умалител

Неизвестното \( x \) е умалител. Намираме го, като от умаляемото извадим разликата: \[ x = \displaystyle\frac{7}{9} - \displaystyle\frac{1}{6} \]

Привеждаме към общ знаменател и пресмятаме

Намираме \( \text{НОК}(9, 6) = 18 \). Допълнителните множители са \( 18 : 9 = 2 \) и \( 18 : 6 = 3 \): \[ x = \underbrace{\displaystyle\frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{7}}{9} - \displaystyle\frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{1}}{6}}_{18} = \displaystyle\frac{14}{18} - \displaystyle\frac{3}{18} = \displaystyle\frac{11}{18} \]

г) \( \displaystyle\frac{7}{8}-x=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3} \)

Пресмятаме дясната страна на равенството

Намираме най-малкия общ знаменател: \( \text{НОК}(2, 3) = 6 \). Допълнителните множители са съответно \( 6 : 2 = 3 \) и \( 6 : 3 = 2 \): \[ \displaystyle\frac{7}{8} - x = \underbrace{\displaystyle\frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{1}}{2} + \displaystyle\frac{\overset{\overset{2}{\smile}}{1}}{3}}_{6} \] \[ \displaystyle\frac{7}{8} - x = \displaystyle\frac{3}{6} + \displaystyle\frac{2}{6} \] \[ \displaystyle\frac{7}{8} - x = \displaystyle\frac{5}{6} \]

Намираме неизвестния умалител

Неизвестното \( x \) е умалител. Намираме го, като от умаляемото извадим разликата: \[ x = \displaystyle\frac{7}{8} - \displaystyle\frac{5}{6} \]

Привеждаме към общ знаменател и пресмятаме

Намираме \( \text{НОК}(8, 6) = 24 \). Допълнителните множители са \( 24 : 8 = 3 \) и \( 24 : 6 = 4 \): \[ x = \underbrace{\displaystyle\frac{\overset{\overset{3}{\smile}}{7}}{8} - \displaystyle\frac{\overset{\overset{4}{\smile}}{5}}{6}}_{24} = \displaystyle\frac{21}{24} - \displaystyle\frac{20}{24} = \displaystyle\frac{1}{24} \]

а) \( x = \displaystyle\frac{5}{6} - \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{5}{6} - \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{1}{3} \) б) \( x - \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{9}{12} - \displaystyle\frac{8}{12} = \displaystyle\frac{1}{12} \implies x = \displaystyle\frac{1}{12} + \displaystyle\frac{4}{12} = \displaystyle\frac{5}{12} \) в) \( \displaystyle\frac{7}{9} - x = \displaystyle\frac{4}{6} - \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{1}{6} \implies x = \displaystyle\frac{14}{18} - \displaystyle\frac{3}{18} = \displaystyle\frac{11}{18} \) г) \( \displaystyle\frac{7}{8} - x = \displaystyle\frac{3}{6} + \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{5}{6} \implies x = \displaystyle\frac{21}{24} - \displaystyle\frac{20}{24} = \displaystyle\frac{1}{24} \)