43. Действия с Обикновени Дроби. Разпределително Свойство на Умножението Относно Събирането

а) \( \displaystyle \frac{9}{13} \cdot \frac{5}{8}+\frac{7}{13} \cdot \frac{5}{8} \)

Стъпка 1: Прилагане на разпределителното свойство

Забелязваме общия множител \( \displaystyle \frac{5}{8} \) в двете събираеми и го изнасяме пред скоби: \[ \frac{9}{13} \cdot \frac{5}{8}+\frac{7}{13} \cdot \frac{5}{8} = \left(\frac{9}{13} + \frac{7}{13}\right) \cdot \frac{5}{8} \]

Стъпка 2: Събиране на дробите с равни знаменатели в скобите

Знаменателите са еднакви, затова събираме числителите: \[ \frac{9}{13} + \frac{7}{13} = \frac{9 + 7}{13} = \frac{16}{13} \]

Стъпка 3: Умножение и съкращаване на дробите

Записваме произведението и съкращаваме числителя \( 16 \) и знаменателя \( 8 \) на \( 8 \): \[ \frac{\cancel{16}^2}{13} \cdot \frac{5}{\cancel{8}_1} = \frac{2 \cdot 5}{13 \cdot 1} = \frac{10}{13} \]

б) \( \displaystyle \frac{13}{18} \cdot \frac{5}{6}+\frac{5}{18} \cdot \frac{5}{6} \)

Стъпка 1: Прилагане на разпределителното свойство

Изнасяме общия множител \( \displaystyle \frac{5}{6} \) пред скоби: \[ \frac{13}{18} \cdot \frac{5}{6}+\frac{5}{18} \cdot \frac{5}{6} = \left(\frac{13}{18} + \frac{5}{18}\right) \cdot \frac{5}{6} \]

Стъпка 2: Събиране на дробите в скобите

Събираме числителите при общ знаменател \( 18 \): \[ \frac{13}{18} + \frac{5}{18} = \frac{13 + 5}{18} = \frac{18}{18} \]

Стъпка 3: Умножение и съкращаване

Тъй като \( \displaystyle \frac{\cancel{18}^1}{\cancel{18}_1} = 1 \), получаваме: \[ \frac{\cancel{18}^1}{\cancel{18}_1} \cdot \frac{5}{6} = 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \]

в) \( \displaystyle 3 \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{13}+3 \frac{2}{9} \cdot \frac{8}{13} \)

Стъпка 1: Прилагане на разпределителното свойство

Изнасяме общия множител \( \displaystyle 3\frac{2}{9} \) пред скоби: \[ 3 \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{13}+3 \frac{2}{9} \cdot \frac{8}{13} = 3 \frac{2}{9} \cdot \left(\frac{5}{13} + \frac{8}{13}\right) \]

Стъпка 2: Пресмятане на сбора в скобите

Събираме дробите с еднакви знаменатели: \[ \frac{5}{13} + \frac{8}{13} = \frac{5 + 8}{13} = \frac{13}{13} = 1 \]

Стъпка 3: Умножение

Умножаваме по полученото число: \[ 3 \frac{2}{9} \cdot \frac{\cancel{13}^1}{\cancel{13}_1} = 3 \frac{2}{9} \cdot 1 = 3 \frac{2}{9} \]

г) \( \displaystyle 9 \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{9}+8 \frac{7}{15} \cdot \frac{7}{9} \)

Стъпка 1: Прилагане на разпределителното свойство

Изнасяме общия множител \( \displaystyle \frac{7}{9} \) пред скоби: \[ 9 \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{9}+8 \frac{7}{15} \cdot \frac{7}{9} = \left(9 \frac{8}{15} + 8 \frac{7}{15}\right) \cdot \frac{7}{9} \]

Стъпка 2: Пресмятане на сбора на смесените числа в скобите

Събираме целите части и дробните части: \[ 9 \frac{8}{15} + 8 \frac{7}{15} = (9 + 8) + \frac{8 + 7}{15} = 17 + \frac{15}{15} = 17 + 1 = 18 \]

Стъпка 3: Умножение и съкращаване

Умножаваме цялото число по дробта и съкращаваме \( 18 \) и \( 9 \) на \( 9 \): \[ \cancel{18}^2 \cdot \frac{7}{\cancel{9}_1} = 2 \cdot 7 = 14 \]

а)

\[ \left(\frac{9}{13}+\frac{7}{13}\right)\cdot \frac{5}{8} = \frac{\cancel{16}^2}{13}\cdot \frac{5}{\cancel{8}_1} = \frac{10}{13} \]

б)

\[ \left(\frac{13}{18}+\frac{5}{18}\right)\cdot \frac{5}{6} = \frac{\cancel{18}^1}{\cancel{18}_1}\cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \]

в)

\[ 3 \frac{2}{9}\cdot\left(\frac{5}{13}+\frac{8}{13}\right) = 3 \frac{2}{9}\cdot \frac{\cancel{13}^1}{\cancel{13}_1} = 3 \frac{2}{9} \]

г)

\[ \left(9 \frac{8}{15}+8 \frac{7}{15}\right)\cdot \frac{7}{9} = \cancel{18}^2\cdot \frac{7}{\cancel{9}_1} = 14 \]