Най-важното от урока
Обем: \(V = a \cdot b \cdot c\). Използва се за намиране на вместимост.
Повърхнина: \(S_{околна} = 2(a+b)c\). Използва се за намиране на площ за боядисване на стени.
Маса по обем: \(\text{Маса} = V \cdot \text{плътност}\). Използва се за намиране на теглото на обект.
Обем по изместване: \(V = S_{\text{основа}} \cdot h_{\text{покачване}}\). Използва се за намиране на обем на предмети с неправилна форма.
Повърхнина: \(S_{околна} = 2(a+b)c\). Използва се за намиране на площ за боядисване на стени.
Маса по обем: \(\text{Маса} = V \cdot \text{плътност}\). Използва се за намиране на теглото на обект.
Обем по изместване: \(V = S_{\text{основа}} \cdot h_{\text{покачване}}\). Използва се за намиране на обем на предмети с неправилна форма.
Обемът на тяло с форма на правоъгълен паралелепипед се намира, като се умножат неговите три измерения: дължина (\(a\)), широчина (\(b\)) и височина (\(c\)).
\[ V = a \cdot b \cdot c \]
При решаване на задачи е важно да се съобразяват мерните единици. Често се налага преобразуване, например:
\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)
\(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ L}\)
\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)
\(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ L}\)
Класна стая с дължина 10 m, широчина 6 m и височина 3,2 m има обем:
\[ V = 10 \cdot 6 \cdot 3,2 = 192 \text{ m}^3 \]
Това е равно на \(192 \cdot 1000 = 192 \, 000 \text{ L}\) въздух.
Намерете обема в литри на аквариум с размери 50 cm, 30 cm и 40 cm.
\(V = 50 \cdot 30 \cdot 40 = 60\,000 \text{ cm}^3\).
Тъй като \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3\), то
\(V = 60\,000 : 1000 = 60 \text{ L}\).
Площта за боядисване на стая обикновено включва стените (околна повърхнина) и тавана (една основа). От получената сума се изважда площта на елементи, които не се боядисват (врати, прозорци).
Площ на стени (околна повърхнина): \( S_{околна} = 2 \cdot (a + b) \cdot c \)
Площ на таван (основа): \( B = a \cdot b \)
Площ за боядисване: \( S_{боя} = S_{околна} + B - S_{изключения} \)
Площ на таван (основа): \( B = a \cdot b \)
Площ за боядисване: \( S_{боя} = S_{околна} + B - S_{изключения} \)
За стая с размери 10m x 6m x 3.2m, площта на стените е \(S_{околна} = 2 \cdot (10 + 6) \cdot 3,2 = 102,4 \text{ m}^2\). Площта на тавана е \(B = 10 \cdot 6 = 60 \text{ m}^2\). Ако вратите и прозорците заемат 24 m², общата площ за боядисване е:
\[ S_{боя} = 102,4 + 60 - 24 = 138,4 \text{ m}^2 \]
Колко квадратни метра е площта за боядисване на стените и тавана на стая с дължина 5 m, широчина 4 m и височина 3 m, ако прозорецът и вратата заемат общо 6 m²?
Площ на стени: \(S_{околна} = 2 \cdot (5 + 4) \cdot 3 = 54 \text{ m}^2\).
Площ на таван: \(B = 5 \cdot 4 = 20 \text{ m}^2\).
Обща площ: \(S_{обща} = 54 + 20 = 74 \text{ m}^2\).
Площ за боядисване: \(S_{боя} = 74 - 6 = 68 \text{ m}^2\).
Площ на таван: \(B = 5 \cdot 4 = 20 \text{ m}^2\).
Обща площ: \(S_{обща} = 54 + 20 = 74 \text{ m}^2\).
Площ за боядисване: \(S_{боя} = 74 - 6 = 68 \text{ m}^2\).
Масата на обект се намира, като обемът му се умножи по специфичното тегло (плътността) на материала, от който е направен.
\[ \text{Маса} = \text{Обем} \cdot \text{Специфично тегло} \]
Една стоманобетонна плоча има обем \(30,24 \text{ m}^3\). Ако 1 m³ стоманобетон тежи 2600 kg, то теглото на плочата е:
\[ 30,24 \cdot 2600 = 78624 \text{ kg} = 78,624 \text{ t} \]
Намерете теглото в килограми на меден блок с обем \(500 \text{ cm}^3\), ако специфичното тегло на медта е \(8,9 \text{ g/cm}^3\).
Маса в грамове: \(500 \text{ cm}^3 \cdot 8,9 \text{ g/cm}^3 = 4450 \text{ g}\).
Тъй като \(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\), то масата в килограми е: \(4450 : 1000 = 4,45 \text{ kg}\).
Тъй като \(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\), то масата в килограми е: \(4450 : 1000 = 4,45 \text{ kg}\).
Обемът на предмет с неправилна форма може да се намери, като се потопи в съд с течност. Обемът на предмета е равен на обема на изместената течност.
Обемът на изместената течност се изчислява като обем на правоъгълен паралелепипед с основа, равна на основата на съда, и височина, равна на покачването на нивото на течността.
В аквариум с основа 30 cm на 20 cm са поставени камъчета. Нивото на водата се е покачило с 1 cm. Обемът на камъчетата е:
\[ V = 30 \cdot 20 \cdot 1 = 600 \text{ cm}^3 \]
В правоъгълен съд с размери на дъното 10 cm на 12 cm е налята вода. След като в него е потопен метален предмет, нивото на водата се покачва с 2 cm. Намерете обема на предмета.
Обемът на предмета е равен на обема на изместената вода:
\[ V = 10 \cdot 12 \cdot 2 = 240 \text{ cm}^3 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете обема на кутия с форма на правоъгълен паралелепипед с дължина 20 cm, широчина 15 cm и височина 10 cm.
Използваме формулата \(V = a \cdot b \cdot c\).
\[ V = 20 \cdot 15 \cdot 10 = 3000 \text{ cm}^3 \]
Средна: Трябва да се боядисат стените на стая с дължина 6 m, широчина 4 m и височина 2,5 m. Колко килограма боя ще са необходими, ако разходната норма е 0,2 kg/m²?
Първо намираме площта на стените (околната повърхнина):
\[ S = 2 \cdot (a + b) \cdot c = 2 \cdot (6 + 4) \cdot 2,5 = 2 \cdot 10 \cdot 2,5 = 50 \text{ m}^2 \]
След това изчисляваме необходимото количество боя:
\[ 50 \text{ m}^2 \cdot 0,2 \text{ kg/m}^2 = 10 \text{ kg} \]
Необходими са 10 kg боя.
Трудна: В аквариум с размери на основата 40 cm x 25 cm има вода. След като в него е поставен оловен предмет, нивото на водата се покачва с 1,5 cm. Намерете масата на предмета, ако знаете, че специфичното тегло на оловото е 11,4 g/cm³.
1. Намираме обема на предмета чрез обема на изместената вода:
\[ V = 40 \cdot 25 \cdot 1,5 = 1000 \cdot 1,5 = 1500 \text{ cm}^3 \]
2. Намираме масата на предмета:
\[ \text{Маса} = \text{Обем} \cdot \text{Специфично тегло} = 1500 \text{ cm}^3 \cdot 11,4 \text{ g/cm}^3 = 17100 \text{ g} \]
3. Превръщаме в килограми:
\[ 17100 \text{ g} = 17,1 \text{ kg} \]
Масата на предмета е 17,1 kg.
