126. Правоъгълен Паралелепипед

Стъпка 1: Определяме дадените елементи на тялото и проверяваме мерните единици

Тялото, което разглеждаме, е правоъгълен паралелепипед. Дадени са трите му измерения (дължина, ширина и височина): \[ a = 5 \, \text{cm}, \quad b = 3 \, \text{cm}, \quad c = 6 \, \text{cm} \] Всички размери са в една и съща мерна единица (сантиметри), затова не е необходимо да ги преобразуваме.

а) Намиране на сбора от всичките му ръбове

Стъпка 2: Използваме формулата за сбор от дължините на всички ръбове

Правоъгълният паралелепипед има общо 12 ръба – по 4 равни ръба от всяко от трите измерения \( a \), \( b \) и \( c \). За да намерим сбора от дължините на всички ръбове (нека го означим с \( L \)), използваме формулата: \[ L = 4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c \] (Можем да запишем формулата и във вида \( L = 4 \cdot (a + b + c) \)).

Стъпка 3: Заместваме с дадените стойности и пресмятаме

Заместваме \( a = 5 \), \( b = 3 \) и \( c = 6 \) във формулата: \[ L = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 6 \] Извършваме първо умноженията, а след това събирането: \[ L = 20 + 12 + 24 \] \[ L = 32 + 24 = 56 \, \text{cm} \] Сборът от дължините на всички ръбове на паралелепипеда е \( 56 \, \text{cm} \).

б) Намиране на сбора от лицата на всички стени

Стъпка 4: Намираме лицето на околната повърхнина

Сборът от лицата на всички стени на правоъгълния паралелепипед се нарича пълна повърхнина (\( S_1 \)). Тя се състои от лицето на околната повърхнина (\( S \)) и лицата на двете основи (\( 2 \cdot B \)). Първо намираме обиколката (периметъра) на основата \( P \), която е правоъгълник със страни \( a \) и \( b \): \[ P = 2 \cdot (a + b) \] \[ P = 2 \cdot (5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16 \, \text{cm} \] Сега пресмятаме лицето на околната повърхнина \( S \) по формулата \( S = P \cdot c \): \[ S = 16 \cdot 6 = 96 \, \text{cm}^2 \]

Стъпка 5: Намираме лицето на основата

Основата е правоъгълник с измерения \( a = 5 \, \text{cm} \) и \( b = 3 \, \text{cm} \). Нейното лице \( B \) се намира по формулата: \[ B = a \cdot b \] \[ B = 5 \cdot 3 = 15 \, \text{cm}^2 \]

Стъпка 6: Пресмятаме лицето на пълната повърхнина (всички стени)

Събираме лицето на околната повърхнина с лицата на двете основи по формулата: \[ S_1 = S + 2 \cdot B \] Заместваме намерените стойности и изчисляваме: \[ S_1 = 96 + 2 \cdot 15 \] \[ S_1 = 96 + 30 = 126 \, \text{cm}^2 \] Сборът от лицата на всички стени е \( 126 \, \text{cm}^2 \).

а)

\[ L = 4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 20 + 12 + 24 = 56 \, \text{cm} \]

б)

\[ S = 2 \cdot (a + b) \cdot c = 2 \cdot (5 + 3) \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96 \, \text{cm}^2 \] \[ B = a \cdot b = 5 \cdot 3 = 15 \, \text{cm}^2 \] \[ S_1 = S + 2 \cdot B = 96 + 2 \cdot 15 = 96 + 30 = 126 \, \text{cm}^2 \]