14. Общ Делител (ОД) и Най-Голям Общ Делител (НОД). Намиране на НОД на Естествени Числа

а) 8 и 20

Стъпка 1: Разлагане на числата на прости множители

Разлагаме числата \( 8 \) и \( 20 \) чрез метода с вертикална черта: \[ \begin{array}{r|l} 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & \end{array} \qquad \begin{array}{r|l} 20 & 2 \\ 10 & 2 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \] Записваме разлаганията като произведения: \[ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \] \[ 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \]

Стъпка 2: Намиране на общите прости множители и НОД

Общите прости множители за двете числа са две двойки: \( 2 \) и \( 2 \). Най-големият общ делител (НОД) е тяхното произведение: \[ \text{НОД}(8; 20) = 2 \cdot 2 = 4 \]

б) 72 и 120

Стъпка 1: Разлагане на числата на прости множители

Разлагаме числата \( 72 \) и \( 120 \) с вертикална черта: \[ \begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \qquad \begin{array}{r|l} 120 & 2 \\ 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \] Записваме разлаганията: \[ 72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \] \[ 120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \]

Стъпка 2: Намиране на общите прости множители и НОД

Общите прости множители за двете числа са три двойки и една тройка: \( 2 \), \( 2 \), \( 2 \) и \( 3 \). Умножаваме ги, за да намерим НОД: \[ \text{НОД}(72; 120) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \]

в) 30, 42 и 78

Стъпка 1: Разлагане на числата на прости множители

Разлагаме всяко от числата \( 30 \), \( 42 \) и \( 78 \) на прости множители: \[ \begin{array}{r|l} 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \qquad \begin{array}{r|l} 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array} \qquad \begin{array}{r|l} 78 & 2 \\ 39 & 3 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array} \] Записваме произведенията: \[ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \] \[ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \] \[ 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13 \]

Стъпка 2: Намиране на общите прости множители и НОД

Общите прости множители, които присъстват и в трите числа, са \( 2 \) и \( 3 \). Умножаваме ги: \[ \text{НОД}(30; 42; 78) = 2 \cdot 3 = 6 \]

а) \( 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \), \( 20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \), \( \text{НОД}(8; 20) = 2 \cdot 2 = 4 \) б) \( 72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \), \( 120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \), \( \text{НОД}(72; 120) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \) в) \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \), \( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \), \( 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13 \), \( \text{НОД}(30; 42; 78) = 2 \cdot 3 = 6 \)