Най-важното от урока
Ключови формули: Обем \(V = a \cdot b \cdot c\). Пълна повърхнина \(S_1 = 2(ab+ac+bc)\). Околна повърхнина \(S = P \cdot c = 2(a+b)c\).
Решаване "наобратно": Можеш да намериш липсващ ръб, ако знаеш обема или повърхнината. Пример: \(c = V / (a \cdot b)\).
Мащабиране: Ако ръбовете се променят \(k\) пъти, повърхнината се променя \(k^2\) пъти, а обемът - \(k^3\) пъти.
Решаване "наобратно": Можеш да намериш липсващ ръб, ако знаеш обема или повърхнината. Пример: \(c = V / (a \cdot b)\).
Мащабиране: Ако ръбовете се променят \(k\) пъти, повърхнината се променя \(k^2\) пъти, а обемът - \(k^3\) пъти.
Ако знаете околната повърхнина \(S\), височината \(c\) и един основен ръб \(a\), можете да намерите другия основен ръб \(b\), а оттам и обема \(V\).
Намерете периметъра на основата \(P\) чрез формулата \(S = P \cdot c \implies P = S : c\).
Намерете липсващия ръб \(b\) чрез формулата за периметър на правоъгълник \(P = 2 \cdot (a + b)\).
Изчислете обема \(V\) с формулата \(V = a \cdot b \cdot c\).
Даден е паралелепипед с \(a = 8\) см, \(c = 20\) см и \(S = 800 \text{ см}^2\). Намерете обема.
1. \(P = 800 : 20 = 40\) см.
2. \(40 = 2 \cdot (8 + b) \implies 20 = 8 + b \implies b = 12\) см.
3. \(V = 8 \cdot 12 \cdot 20 = 1920 \text{ см}^3\).
1. \(P = 800 : 20 = 40\) см.
2. \(40 = 2 \cdot (8 + b) \implies 20 = 8 + b \implies b = 12\) см.
3. \(V = 8 \cdot 12 \cdot 20 = 1920 \text{ см}^3\).
Правоъгълен паралелепипед има околна повърхнина \(S = 180 \text{ см}^2\), височина \(c = 9\) см и дължина \(a = 6\) см. Намерете широчината \(b\).
1. \(P = S : c = 180 : 9 = 20\) см.
2. \(P = 2 \cdot (a + b) \implies 20 = 2 \cdot (6 + b) \implies 10 = 6 + b \implies b = 4\) см.
Отговор: Широчината е 4 см.
2. \(P = 2 \cdot (a + b) \implies 20 = 2 \cdot (6 + b) \implies 10 = 6 + b \implies b = 4\) см.
Отговор: Широчината е 4 см.
Ако знаете обема \(V\) и два от ръбовете (напр. \(a\) и \(b\)), можете да намерите третия ръб \(c\), а оттам и пълната повърхнина \(S_1\).
Намерете липсващия ръб \(c\) чрез формулата \(V = a \cdot b \cdot c \implies c = V : (a \cdot b)\).
Изчислете лицето на основата \(B = a \cdot b\) и околната повърхнина \(S = 2(a+b) \cdot c\).
Намерете пълната повърхнина \(S_1\) с формулата \(S_1 = S + 2 \cdot B\).
Даден е паралелепипед с \(a = 10\) см, \(b = 4\) см и \(V = 320 \text{ см}^3\). Намерете пълната повърхнина.
1. \(c = 320 : (10 \cdot 4) = 320 : 40 = 8\) см.
2. \(S = 2(10+4) \cdot 8 = 28 \cdot 8 = 224 \text{ см}^2\). Лицето на основата е \(B = 10 \cdot 4 = 40 \text{ см}^2\).
3. \(S_1 = 224 + 2 \cdot 40 = 224 + 80 = 304 \text{ см}^2\).
1. \(c = 320 : (10 \cdot 4) = 320 : 40 = 8\) см.
2. \(S = 2(10+4) \cdot 8 = 28 \cdot 8 = 224 \text{ см}^2\). Лицето на основата е \(B = 10 \cdot 4 = 40 \text{ см}^2\).
3. \(S_1 = 224 + 2 \cdot 40 = 224 + 80 = 304 \text{ см}^2\).
Правоъгълен паралелепипед има обем \(V = 210 \text{ см}^3\), дължина \(a = 7\) см и широчина \(b = 5\) см. Намерете височината \(c\).
1. \(c = V : (a \cdot b) = 210 : (7 \cdot 5) = 210 : 35 = 6\) см.
Отговор: Височината е 6 см.
Отговор: Височината е 6 см.
Ако всички измерения на правоъгълен паралелепипед се увеличат или намалят \(k\) пъти, то неговата околна (и пълна) повърхнина се увеличава или намалява \(k^2\) (чете се "k на квадрат") пъти.
Измеренията на паралелепипед се увеличават 3 пъти. Околната му повърхнина \(S = 54 \text{ см}^2\) ще стане \(S^* = 54 \cdot 3^2 = 54 \cdot 9 = 486 \text{ см}^2\). Повърхнината се е увеличила 9 пъти.
Всички измерения на правоъгълен паралелепипед са намалени 2 пъти. Колко пъти ще се намали пълната му повърхнина?
Повърхнината ще се намали \(2^2 = 4\) пъти.
Ако всички измерения на правоъгълен паралелепипед се увеличат или намалят \(k\) пъти, то неговият обем се увеличава или намалява \(k^3\) (чете се "k на куб") пъти.
Измеренията на паралелепипед са намалени 2 пъти. Обемът му \(V = 192 \text{ см}^3\) ще стане \(V_1 = 192 : 2^3 = 192 : 8 = 24 \text{ см}^3\). Обемът се е намалил 8 пъти.
Всички измерения на правоъгълен паралелепипед са увеличени 4 пъти. Колко пъти ще се увеличи обемът му?
Обемът ще се увеличи \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\) пъти.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете обема \(V\) и пълната повърхнина \(S_1\) на правоъгълен паралелепипед с размери \(a=5\) см, \(b=3\) см, \(c=10\) см.
Обем: \(V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 3 \cdot 10 = 150 \text{ см}^3\).
Пълна повърхнина: \(S_1 = 2(ab+ac+bc) = 2(5 \cdot 3 + 5 \cdot 10 + 3 \cdot 10) = 2(15+50+30) = 2 \cdot 95 = 190 \text{ см}^2\).
Пълна повърхнина: \(S_1 = 2(ab+ac+bc) = 2(5 \cdot 3 + 5 \cdot 10 + 3 \cdot 10) = 2(15+50+30) = 2 \cdot 95 = 190 \text{ см}^2\).
Средна: Основата на правоъгълен паралелепипед е квадрат със страна 4 см. Ако обемът му е \(160 \text{ см}^3\), намерете височината и околната повърхнина.
Дадено е \(a=4\) см и \(b=4\) см.
1. Намираме височината: \(c = V : (a \cdot b) = 160 : (4 \cdot 4) = 160 : 16 = 10\) см.
2. Намираме околната повърхнина: \(S = P \cdot c = (2(4+4)) \cdot 10 = 16 \cdot 10 = 160 \text{ см}^2\).
1. Намираме височината: \(c = V : (a \cdot b) = 160 : (4 \cdot 4) = 160 : 16 = 10\) см.
2. Намираме околната повърхнина: \(S = P \cdot c = (2(4+4)) \cdot 10 = 16 \cdot 10 = 160 \text{ см}^2\).
Трудна: Пълната повърхнина на куб е \(54 \text{ см}^2\). Намерете обема му.
1. Формулата за пълна повърхнина на куб е \(S_1 = 6 \cdot a^2\).
2. \(54 = 6 \cdot a^2 \implies a^2 = 54 : 6 = 9\) см².
3. Щом \(a^2=9\), значи ръбът \(a=3\) см.
4. Формулата за обем на куб е \(V = a^3\).
5. \(V = 3^3 = 27 \text{ см}^3\).
2. \(54 = 6 \cdot a^2 \implies a^2 = 54 : 6 = 9\) см².
3. Щом \(a^2=9\), значи ръбът \(a=3\) см.
4. Формулата за обем на куб е \(V = a^3\).
5. \(V = 3^3 = 27 \text{ см}^3\).
