Най-важното от урока
Околна повърхнина (\(S\)): Лицето на четирите странични стени. Формула: \(S = P \cdot c\), където \(P=2(a+b)\) е обиколката на основата.
Пълна повърхнина (\(S_1\)): Лицето на всичките шест стени. Формула: \(S_1 = S + 2 \cdot B\), където \(B=a \cdot b\) е лицето на основата.
Пълна повърхнина (\(S_1\)): Лицето на всичките шест стени. Формула: \(S_1 = S + 2 \cdot B\), където \(B=a \cdot b\) е лицето на основата.
Лицето на околната повърхнина е сборът от лицата на четирите околни (странични) стени на правоъгълния паралелепипед.
\[ S = P \cdot c \]
където \(P = 2 \cdot (a+b)\) е периметърът (обиколката) на основата, а \(c\) е височината на паралелепипеда.
Даден е паралелепипед с размери на основата \(a=5 \text{ cm}\), \(b=4 \text{ cm}\) и височина \(c=10 \text{ cm}\).
1. Намираме обиколката на основата: \(P = 2 \cdot (5+4) = 2 \cdot 9 = 18 \text{ cm}\).
2. Намираме околната повърхнина: \(S = P \cdot c = 18 \cdot 10 = 180 \text{ cm}^2\).
1. Намираме обиколката на основата: \(P = 2 \cdot (5+4) = 2 \cdot 9 = 18 \text{ cm}\).
2. Намираме околната повърхнина: \(S = P \cdot c = 18 \cdot 10 = 180 \text{ cm}^2\).
Намерете лицето на околната повърхнина на паралелепипед с \(a=7 \text{ cm}\), \(b=3 \text{ cm}\) и \(c=5 \text{ cm}\).
\(P = 2 \cdot (7+3) = 2 \cdot 10 = 20 \text{ cm}\)
\(S = P \cdot c = 20 \cdot 5 = 100 \text{ cm}^2\)
\(S = P \cdot c = 20 \cdot 5 = 100 \text{ cm}^2\)
Лицето на пълната повърхнина е сборът от лицето на околната повърхнина (\(S\)) и лицата на двете основи (\(2 \cdot B\)).
\[ S_1 = S + 2 \cdot B \]
където \(S\) е околната повърхнина, а \(B = a \cdot b\) е лицето на едната основа.
Може да се запише и като: \[ S_1 = 2 \cdot (ab + ac + bc) \]
Може да се запише и като: \[ S_1 = 2 \cdot (ab + ac + bc) \]
За паралелепипеда от предходния пример с \(a=5\), \(b=4\), \(c=10\) и \(S = 180 \text{ cm}^2\).
1. Намираме лицето на основата: \(B = a \cdot b = 5 \cdot 4 = 20 \text{ cm}^2\).
2. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + 2 \cdot B = 180 + 2 \cdot 20 = 180 + 40 = 220 \text{ cm}^2\).
1. Намираме лицето на основата: \(B = a \cdot b = 5 \cdot 4 = 20 \text{ cm}^2\).
2. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + 2 \cdot B = 180 + 2 \cdot 20 = 180 + 40 = 220 \text{ cm}^2\).
Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с \(a=7 \text{ cm}\), \(b=3 \text{ cm}\) и \(c=5 \text{ cm}\), като използвате намерената вече \(S=100 \text{ cm}^2\).
\(B = a \cdot b = 7 \cdot 3 = 21 \text{ cm}^2\)
\(S_1 = S + 2 \cdot B = 100 + 2 \cdot 21 = 100 + 42 = 142 \text{ cm}^2\)
\(S_1 = S + 2 \cdot B = 100 + 2 \cdot 21 = 100 + 42 = 142 \text{ cm}^2\)
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете околната и пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед с измерения \(a = 6 \text{ m}\), \(b = 4 \text{ m}\) и \(c = 2 \text{ m}\).
1. \(P = 2 \cdot (6+4) = 20 \text{ m}\)
2. \(S = P \cdot c = 20 \cdot 2 = 40 \text{ m}^2\) (околна повърхнина)
3. \(B = a \cdot b = 6 \cdot 4 = 24 \text{ m}^2\)
4. \(S_1 = S + 2 \cdot B = 40 + 2 \cdot 24 = 40 + 48 = 88 \text{ m}^2\) (пълна повърхнина)
2. \(S = P \cdot c = 20 \cdot 2 = 40 \text{ m}^2\) (околна повърхнина)
3. \(B = a \cdot b = 6 \cdot 4 = 24 \text{ m}^2\)
4. \(S_1 = S + 2 \cdot B = 40 + 2 \cdot 24 = 40 + 48 = 88 \text{ m}^2\) (пълна повърхнина)
Средна: Обиколката на основата на правоъгълен паралелепипед е \(P = 22 \text{ cm}\), а височината му е \(c = 10 \text{ cm}\). Лицето на основата му е \(B = 30 \text{ cm}^2\). Намерете пълната му повърхнина \(S_1\).
Задачата дава всички необходими компоненти директно.
1. Намираме околната повърхнина: \(S = P \cdot c = 22 \cdot 10 = 220 \text{ cm}^2\).
2. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + 2 \cdot B = 220 + 2 \cdot 30 = 220 + 60 = 280 \text{ cm}^2\).
1. Намираме околната повърхнина: \(S = P \cdot c = 22 \cdot 10 = 220 \text{ cm}^2\).
2. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + 2 \cdot B = 220 + 2 \cdot 30 = 220 + 60 = 280 \text{ cm}^2\).
Трудна: Стая има форма на правоъгълен паралелепипед с дължина 5 m, ширина 4 m и височина 3 m. Колко ще струва боядисването на стените и тавана на стаята, ако цената на боята е 2 лв. на квадратен метър? (Подът не се боядисва).
Трябва да намерим площта на стените (околната повърхнина \(S\)) и площта на тавана (лицето на една основа \(B\)).
1. Размери: \(a = 5 \text{ m}\), \(b = 4 \text{ m}\), \(c = 3 \text{ m}\).
2. Околна повърхнина: \(S = 2 \cdot (a+b) \cdot c = 2 \cdot (5+4) \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 3 = 54 \text{ m}^2\).
3. Лице на тавана (основата): \(B = a \cdot b = 5 \cdot 4 = 20 \text{ m}^2\).
4. Обща площ за боядисване = \(S + B = 54 + 20 = 74 \text{ m}^2\).
5. Цена = \(74 \text{ m}^2 \cdot 2 \text{ лв/m}^2 = 148 \text{ лв}\).
1. Размери: \(a = 5 \text{ m}\), \(b = 4 \text{ m}\), \(c = 3 \text{ m}\).
2. Околна повърхнина: \(S = 2 \cdot (a+b) \cdot c = 2 \cdot (5+4) \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 3 = 54 \text{ m}^2\).
3. Лице на тавана (основата): \(B = a \cdot b = 5 \cdot 4 = 20 \text{ m}^2\).
4. Обща площ за боядисване = \(S + B = 54 + 20 = 74 \text{ m}^2\).
5. Цена = \(74 \text{ m}^2 \cdot 2 \text{ лв/m}^2 = 148 \text{ лв}\).
