40. Разместително и Съдружително Свойство на Действието Умножение

а) \( \displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{8} \)

Стъпка 1: Записване под обща дробна черта и съкращаване

Записваме произведението на обикновените дроби под една обща дробна черта, като в числителя умножаваме числителите, а в знаменателя – знаменателите: \[ \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 8} \] Търсим общи делители между числителя и знаменателя, за да извършим предварително съкращаване: - Съкращаваме \( 3 \) в числителя и знаменателя на \( 3 \): получаваме \( 1 \) и \( 1 \). - Съкращаваме \( 5 \) в числителя и знаменателя на \( 5 \): получаваме \( 1 \) и \( 1 \). - Съкращаваме \( 2 \) и \( 8 \) на \( 2 \): получаваме \( 1 \) в числителя и \( 4 \) в знаменателя. \[ \frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{3}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{3}_1 \cdot \cancel{5}_1 \cdot \cancel{8}_4} \]

Стъпка 2: Пресмятане на крайния резултат

Умножаваме останалите числа: \[ \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 4} = \frac{1}{4} \]

б) \( \displaystyle \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{11} \)

Стъпка 1: Записване под обща дробна черта и съкращаване

Записваме дробите под една обща дробна черта: \[ \frac{3 \cdot 7 \cdot 2}{7 \cdot 9 \cdot 11} \] Съкращаваме общите множители: - Съкращаваме \( 7 \) в числителя и знаменателя на \( 7 \): получаваме \( 1 \) и \( 1 \). - Съкращаваме \( 3 \) и \( 9 \) на \( 3 \): получаваме \( 1 \) в числителя и \( 3 \) в знаменателя. \[ \frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{7}^1 \cdot 2}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{9}_3 \cdot 11} \]

Стъпка 2: Пресмятане на крайния резултат

Умножаваме получените числа в числителя и в знаменателя: \[ \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{1 \cdot 3 \cdot 11} = \frac{2}{33} \]

в) \( \displaystyle \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{4}{13} \)

Стъпка 1: Записване под обща дробна черта и съкращаване

Записваме дробите под обща дробна черта: \[ \frac{5 \cdot 7 \cdot 4}{7 \cdot 10 \cdot 13} \] Съкращаваме общите множители: - Съкращаваме \( 7 \) в числителя и знаменателя на \( 7 \): получаваме \( 1 \) и \( 1 \). - Съкращаваме \( 5 \) и \( 10 \) на \( 5 \): получаваме \( 1 \) в числителя и \( 2 \) в знаменателя. \[ \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{7}^1 \cdot 4}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{10}_2 \cdot 13} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 13} \] Съкращаваме \( 4 \) и \( 2 \) на \( 2 \): \[ \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{2}_1 \cdot 13} \]

Стъпка 2: Пресмятане на крайния резултат

Умножаваме останалите множители: \[ \frac{2}{1 \cdot 13} = \frac{2}{13} \]

г) \( \displaystyle \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{7} \)

Стъпка 1: Записване под обща дробна черта и съкращаване

Записваме произведението под обща дробна черта: \[ \frac{5 \cdot 3 \cdot 2}{9 \cdot 10 \cdot 7} \] Съкращаваме числителите и знаменателите на техните общи делители: - Съкращаваме \( 3 \) и \( 9 \) на \( 3 \): получаваме \( 1 \) в числителя и \( 3 \) в знаменателя. - Съкращаваме \( 5 \) и \( 10 \) на \( 5 \): получаваме \( 1 \) в числителя и \( 2 \) в знаменателя. \[ \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{3}^1 \cdot 2}{\cancel{9}_3 \cdot \cancel{10}_2 \cdot 7} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 7} \] Съкращаваме \( 2 \) в числителя и знаменателя на \( 2 \): \[ \frac{\cancel{2}^1}{3 \cdot \cancel{2}_1 \cdot 7} \]

Стъпка 2: Пресмятане на крайния резултат

Умножаваме получените числа: \[ \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot 7} = \frac{1}{21} \]

а)

\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{3}^1 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{3}_1 \cdot \cancel{5}_1 \cdot \cancel{8}_4} = \frac{1}{4} \]

б)

\[ \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{11} = \frac{\cancel{3}^1 \cdot \cancel{7}^1 \cdot 2}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{9}_3 \cdot 11} = \frac{2}{33} \]

в)

\[ \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{4}{13} = \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{7}^1 \cdot \cancel{4}^2}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{10}_{\cancel{2}_1} \cdot 13} = \frac{2}{13} \]

г)

\[ \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{3}^1 \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{9}_3 \cdot \cancel{10}_{\cancel{2}_1} \cdot 7} = \frac{1}{21} \]