Най-важното от урока
Правоъгълен паралелепипед (a, b, c):
Обем: \(V = a \cdot b \cdot c\). Пълна повърхнина: \(S_1 = 2(ab+ac+bc)\).
Куб (ръб a):
Обем: \(V = a^3\). Пълна повърхнина: \(S_1 = 6a^2\).
Ключово умение: Винаги преобразувайте размерите в еднакви мерни единици преди изчисления (\(1\text{л} = 1\text{дм}^3\)).
Обем: \(V = a \cdot b \cdot c\). Пълна повърхнина: \(S_1 = 2(ab+ac+bc)\).
Куб (ръб a):
Обем: \(V = a^3\). Пълна повърхнина: \(S_1 = 6a^2\).
Ключово умение: Винаги преобразувайте размерите в еднакви мерни единици преди изчисления (\(1\text{л} = 1\text{дм}^3\)).
Правоъгълен паралелепипед е геометрично тяло, чиито стени са 6 правоъгълника. Има три основни измерения: дължина (\(a\)), широчина (\(b\)) и височина (\(c\)).
Лице на основата: \(B = a \cdot b\)
Периметър на основата: \(P = 2(a+b)\)
Околна повърхнина (площта на страните): \(S = P \cdot c = 2(a+b)c\)
Пълна повърхнина (лице на повърхността): \(S_1 = S + 2B = 2(ab+ac+bc)\)
Обем: \(V = B \cdot c = a \cdot b \cdot c\)
Сбор от дължините на всички ръбове: \(\Sigma = 4a + 4b + 4c = 4(a+b+c)\)
Периметър на основата: \(P = 2(a+b)\)
Околна повърхнина (площта на страните): \(S = P \cdot c = 2(a+b)c\)
Пълна повърхнина (лице на повърхността): \(S_1 = S + 2B = 2(ab+ac+bc)\)
Обем: \(V = B \cdot c = a \cdot b \cdot c\)
Сбор от дължините на всички ръбове: \(\Sigma = 4a + 4b + 4c = 4(a+b+c)\)
Даден е паралелепипед с размери \(a=5\) см, \(b=4\) см и \(c=10\) см.
Лице на основата: \(B = 5 \cdot 4 = 20 \text{ см}^2\)
Околна повърхнина: \(S = 2(5+4) \cdot 10 = 2 \cdot 9 \cdot 10 = 180 \text{ см}^2\)
Пълна повърхнина: \(S_1 = 180 + 2 \cdot 20 = 220 \text{ см}^2\)
Обем: \(V = 5 \cdot 4 \cdot 10 = 200 \text{ см}^3\)
Лице на основата: \(B = 5 \cdot 4 = 20 \text{ см}^2\)
Околна повърхнина: \(S = 2(5+4) \cdot 10 = 2 \cdot 9 \cdot 10 = 180 \text{ см}^2\)
Пълна повърхнина: \(S_1 = 180 + 2 \cdot 20 = 220 \text{ см}^2\)
Обем: \(V = 5 \cdot 4 \cdot 10 = 200 \text{ см}^3\)
Намерете околната повърхнина и обема на правоъгълен паралелепипед с размери \(a=6\) см, \(b=3\) см и \(c=8\) см.
\(P = 2(6+3) = 18\) см
\(S = P \cdot c = 18 \cdot 8 = 144 \text{ см}^2\)
\(V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 3 \cdot 8 = 144 \text{ см}^3\)
\(S = P \cdot c = 18 \cdot 8 = 144 \text{ см}^2\)
\(V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 3 \cdot 8 = 144 \text{ см}^3\)
Кубът е специален вид правоъгълен паралелепипед, при който всички ръбове са равни (\(a=b=c\)). Всичките му 6 стени са еднакви квадрати.
Пълна повърхнина: \(S_1 = 6 \cdot a^2\)
Обем: \(V = a^3\)
Сбор от дължините на всички ръбове: \(\Sigma = 12 \cdot a\)
Обем: \(V = a^3\)
Сбор от дължините на всички ръбове: \(\Sigma = 12 \cdot a\)
Даден е куб с ръб \(a=5\) см.
Пълна повърхнина: \(S_1 = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \text{ см}^2\)
Обем: \(V = 5^3 = 125 \text{ см}^3\)
Пълна повърхнина: \(S_1 = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \text{ см}^2\)
Обем: \(V = 5^3 = 125 \text{ см}^3\)
Обемът на куб е \(64 \text{ см}^3\). Намерете дължината на ръба и пълната му повърхнина.
Тъй като \(V = a^3\), търсим число, което, повдигнато на трета степен, е 64. Това е 4, защото \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). Следователно \(a = 4\) см.
\(S_1 = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2\).
\(S_1 = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2\).
Преди да използвате формулите, винаги се уверявайте, че всички размери са в една и съща мерна единица!
За дължина:
\(1 \text{ м} = 10 \text{ дм} = 100 \text{ см}\)
За площ:
\(1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10 000 \text{ см}^2\)
За обем:
\(1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3 = 1 000 000 \text{ см}^3\)
Важно: \(1 \text{ литър} = 1 \text{ дм}^3\)
\(1 \text{ м} = 10 \text{ дм} = 100 \text{ см}\)
За площ:
\(1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10 000 \text{ см}^2\)
За обем:
\(1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3 = 1 000 000 \text{ см}^3\)
Важно: \(1 \text{ литър} = 1 \text{ дм}^3\)
Колко литра вода събира съд с форма на паралелепипед с размери 0.5 м, 30 см и 2 дм?
1. Преобразуваме всичко в дециметри (дм), защото \(1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3\).
\(a = 0.5 \text{ м} = 5 \text{ дм}\)
\(b = 30 \text{ см} = 3 \text{ дм}\)
\(c = 2 \text{ дм}\)
2. Изчисляваме обема:
\(V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \text{ дм}^3 = 30 \text{ литра}\)
1. Преобразуваме всичко в дециметри (дм), защото \(1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3\).
\(a = 0.5 \text{ м} = 5 \text{ дм}\)
\(b = 30 \text{ см} = 3 \text{ дм}\)
\(c = 2 \text{ дм}\)
2. Изчисляваме обема:
\(V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \text{ дм}^3 = 30 \text{ литра}\)
Правоъгълен паралелепипед има размери 2 м, 10 дм и 50 см. Намерете обема му в кубически метри (\(\text{м}^3\)).
Преобразуваме всичко в метри (м):
\(a = 2 \text{ м}\)
\(b = 10 \text{ дм} = 1 \text{ м}\)
\(c = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}\)
\(V = 2 \cdot 1 \cdot 0.5 = 1 \text{ м}^3\)
\(a = 2 \text{ м}\)
\(b = 10 \text{ дм} = 1 \text{ м}\)
\(c = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}\)
\(V = 2 \cdot 1 \cdot 0.5 = 1 \text{ м}^3\)
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете пълната повърхнина и обема на куб с дължина на ръба 10 см.
\(S_1 = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 10^2 = 6 \cdot 100 = 600 \text{ см}^2\)
\(V = a^3 = 10^3 = 1000 \text{ см}^3\)
\(V = a^3 = 10^3 = 1000 \text{ см}^3\)
Средна: Околната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(160 \text{ см}^2\). Основата му има страни \(a = 3\) см и \(b = 5\) см. Намерете височината \(c\) и обема \(V\) на паралелепипеда.
1. Намираме периметъра на основата: \(P = 2(3+5) = 2 \cdot 8 = 16\) см.
2. От формулата за околна повърхнина \(S = P \cdot c\) намираме височината:
\(160 = 16 \cdot c \implies c = 160 : 16 = 10\) см.
3. Намираме обема: \(V = a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 5 \cdot 10 = 150 \text{ см}^3\).
2. От формулата за околна повърхнина \(S = P \cdot c\) намираме височината:
\(160 = 16 \cdot c \implies c = 160 : 16 = 10\) см.
3. Намираме обема: \(V = a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 5 \cdot 10 = 150 \text{ см}^3\).
Трудна: Покривът на сграда с форма на правоъгълник с размери 26 м и 12 м е покрит с топлоизолация. За нея са използвани \(18.72 \text{ м}^3\) материал. Намерете дебелината (височината) на изолационния слой в сантиметри.
Изолацията има форма на паралелепипед. Дадени са обемът \(V = 18.72 \text{ м}^3\) и размерите на основата \(a=26\) м и \(b=12\) м. Търсим височината \(c\) (дебелината).
1. Намираме лицето на основата: \(B = a \cdot b = 26 \cdot 12 = 312 \text{ м}^2\).
2. От формулата \(V = B \cdot c\) намираме дебелината:
\(c = V : B = 18.72 : 312 = 0.06\) м.
3. Преобразуваме в сантиметри: \(0.06 \text{ м} = 6 \text{ см}\).
Отговор: Дебелината на изолацията е 6 см.
1. Намираме лицето на основата: \(B = a \cdot b = 26 \cdot 12 = 312 \text{ м}^2\).
2. От формулата \(V = B \cdot c\) намираме дебелината:
\(c = V : B = 18.72 : 312 = 0.06\) м.
3. Преобразуваме в сантиметри: \(0.06 \text{ м} = 6 \text{ см}\).
Отговор: Дебелината на изолацията е 6 см.
