84. Проста Лихва

Основни формули за проста лихва

За всяка от колоните в таблицата използваме основните зависимости при проста лихва: \[ \text{Лихва за 1 период} = \text{Начален капитал} \cdot \frac{p}{100} \] \[ I_n = \text{Начален капитал} \cdot \frac{p}{100} \cdot n \] \[ K_n = \text{Начален капитал} + I_n \] където \( p \) е лихвеният процент, \( n \) е броят периоди (години), \( I_n \) е лихвата за \( n \) периода, а \( K_n \) е нарасналият капитал.

Колона 1

Условие: Начален капитал \( 10000 \) лв., лихвен процент \( 7\% \), брой периоди \( 5 \) години. Търсим лихвата и нарасналия капитал. 1. Намираме лихвата за \( 5 \) периода: \[ I_5 = 10000 \cdot \frac{7}{100} \cdot 5 = \frac{10000 \cdot 35}{100} = \frac{\cancel{10000}^{100} \cdot 35}{\cancel{100}_1} = 100 \cdot 35 = 3500\text{ лв.} \] 2. Намираме нарасналия капитал: \[ K_5 = 10000 + 3500 = 13500\text{ лв.} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 10000 & \\ +\,3500 & \\ \hline 13500 & \end{array} \]

Колона 2

Условие: Начален капитал \( 18000 \) лв., лихвен процент \( 4\% \), нараснал капитал \( 20160 \) лв. Търсим лихвата и броя периоди \( n \). 1. Намираме общата лихва: \[ I_n = K_n - K = 20160 - 18000 = 2160\text{ лв.} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 20160 & \\ -\,18000 & \\ \hline 2160 & \end{array} \] 2. Намираме лихвата за 1 период: \[ \text{Лихва}_1 = 18000 \cdot \frac{4}{100} = \frac{\cancel{18000}^{180} \cdot 4}{\cancel{100}_1} = 180 \cdot 4 = 720\text{ лв.} \] 3. Намираме броя периоди \( n \): \[ n = 2160 : 720 = 3\text{ години} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 2160 & {} : 720 = 3 \\ \underline{-2160} & \\ 0 & \end{array} \]

Колона 3

Условие: Начален капитал \( 16000 \) лв., брой периоди \( 4 \) години, нараснал капитал \( 19200 \) лв. Търсим лихвата и лихвения процент \( p \). 1. Намираме общата лихва: \[ I_4 = 19200 - 16000 = 3200\text{ лв.} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 19200 & \\ -\,16000 & \\ \hline 3200 & \end{array} \] 2. Изчисляваме лихвата при \( 1\% \) за \( 4 \) години: \[ \text{Лихва}_{1\%} = 16000 \cdot \frac{1}{100} \cdot 4 = \frac{\cancel{16000}^{160} \cdot 4}{\cancel{100}_1} = 640\text{ лв.} \] 3. Намираме лихвения процент \( p \): \[ p = 3200 : 640 = 5\% \] \[ \begin{array}{r@{}l} 3200 & {} : 640 = 5 \\ \underline{-3200} & \\ 0 & \end{array} \]

Колона 4

Условие: Лихвен процент \( 6\% \), брой периоди \( 7 \) години, нараснал капитал \( 34080 \) лв. Търсим началния капитал и общата лихва. 1. Лихвата за \( 7 \) години като дял от началния капитал \( K \) е: \[ \frac{6}{100} \cdot 7 = \frac{42}{100} \] Тогава нарасналият капитал е: \[ K + \frac{42}{100} \cdot K = \left(1 + \frac{42}{100}\right) \cdot K = \frac{142}{100} \cdot K \] 2. Намираме началния капитал \( K \): \[ K = 34080 : \frac{142}{100} = 34080 \cdot \frac{100}{142} = \frac{\cancel{34080}^{240} \cdot 100}{\cancel{142}_1} = 240 \cdot 100 = 24000\text{ лв.} \] \[ 34080 : 142 = 240 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 34080 & {} : 142 = 240 \\ \underline{-284}\phantom{80} & \\ 568\phantom{0} & \\ \underline{-568}\phantom{0} & \\ 0 & \end{array} \] 3. Намираме общата лихва: \[ I_7 = 34080 - 24000 = 10080\text{ лв.} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 34080 & \\ -\,24000 & \\ \hline 10080 & \end{array} \]

Колона 5

Условие: Брой периоди \( 6 \) години, лихва за \( 6 \) периода \( 2700 \) лв., нараснал капитал \( 17700 \) лв. Търсим началния капитал и лихвения процент. 1. Намираме началния капитал: \[ K = 17700 - 2700 = 15000\text{ лв.} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 17700 & \\ -\,2700 & \\ \hline 15000 & \end{array} \] 2. Намираме лихвата за 1 година: \[ \text{Лихва}_1 = 2700 : 6 = 450\text{ лв.} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 2700 & {} : 6 = 450 \\ \underline{-24}\phantom{00} & \\ 30\phantom{0} & \\ \underline{-30}\phantom{0} & \\ 0 & \end{array} \] 3. Намираме лихвения процент: \[ p = \frac{450}{15000} \cdot 100 = \frac{450 \cdot \cancel{100}^1}{\cancel{15000}_{150}} = \frac{450}{150} = 3\% \]

Колона 6

Условие: Лихвен процент \( 5,5\% \), лихва \( 5500 \) лв., нараснал капитал \( 30500 \) лв. Търсим началния капитал и броя периоди \( n \). 1. Намираме началния капитал: \[ K = 30500 - 5500 = 25000\text{ лв.} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 30500 & \\ -\,5500 & \\ \hline 25000 & \end{array} \] 2. Намираме лихвата за 1 година: \[ \text{Лихва}_1 = 25000 \cdot \frac{5,5}{100} = \frac{\cancel{25000}^{250} \cdot 5,5}{\cancel{100}_1} = 250 \cdot 5,5 = 1375\text{ лв.} \] \[ 250 \cdot 5,5 = 1375 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 25 & {}\cdot 55 \\ \hline 125 & \\ +\,125\phantom{0} & \\ \hline 1375 & \end{array} \] 3. Намираме броя периоди \( n \): \[ n = 5500 : 1375 = 4\text{ години} \] \[ \begin{array}{r@{}l} 5500 & {} : 1375 = 4 \\ \underline{-5500} & \\ 0 & \end{array} \]

Колона 1

\[ I = 10000 \cdot \frac{7}{100} \cdot 5 = 3500\text{ лв.} \] \[ K_n = 10000 + 3500 = 13500\text{ лв.} \]

Колона 2

\[ I = 20160 - 18000 = 2160\text{ лв.} \] \[ n = 2160 : \left(18000 \cdot \frac{4}{100}\right) = 2160 : 720 = 3\text{ години} \]

Колона 3

\[ I = 19200 - 16000 = 3200\text{ лв.} \] \[ p = 3200 : \left(16000 \cdot \frac{4}{100}\right) = 3200 : 640 = 5\% \]

Колона 4

\[ K = 34080 : \left(1 + \frac{42}{100}\right) = 34080 : 1,42 = 24000\text{ лв.} \] \[ I = 34080 - 24000 = 10080\text{ лв.} \]

Колона 5

\[ K = 17700 - 2700 = 15000\text{ лв.} \] \[ p = \frac{2700 : 6}{15000} \cdot 100 = \frac{450}{150} = 3\% \]

Колона 6

\[ K = 30500 - 5500 = 25000\text{ лв.} \] \[ n = 5500 : \left(25000 \cdot \frac{5,5}{100}\right) = 5500 : 1375 = 4\text{ години} \]