Най-важното от урока
Средна отсечка (m): Свързва средите на бедрата. Винаги е успоредна на основите.
Формула за дължина: Равна е на полусбора на основите (\(a\) и \(b\)). Пример: ако \(a=20, b=10\), то \(m = \frac{20+10}{2} = 15\).
Частта между диагоналите (PQ): Равна е на полуразликата на основите. Пример: ако \(a=20, b=10\), то \(PQ = \frac{20-10}{2} = 5\).
Формула за дължина: Равна е на полусбора на основите (\(a\) и \(b\)). Пример: ако \(a=20, b=10\), то \(m = \frac{20+10}{2} = 15\).
Частта между диагоналите (PQ): Равна е на полуразликата на основите. Пример: ако \(a=20, b=10\), то \(PQ = \frac{20-10}{2} = 5\).
Отсечката, която свързва средите на бедрата (неуспоредните страни) на един трапец, се нарича средна отсечка (или средна основа).
В трапец ABCD, ако M е средата на бедрото AD и N е средата на бедрото BC, то отсечката MN е средната отсечка на трапеца.
Даден е трапец KLST с бедра KT и LS. Точка P е средата на KT, а точка Q е средата на LS. Как се нарича отсечката PQ?
Отговор: PQ е средна отсечка на трапеца KLST.
Средната отсечка на трапец е успоредна на основите му и е равна на половината от техния сбор.
Ако \(a\) и \(b\) са основите на трапеца, а \(m\) е средната му отсечка, то:
\[ m = \frac{a + b}{2} \]
И също \(m \parallel a \parallel b\).
Ако един трапец има основи с дължини 14 см и 6 см, неговата средна отсечка \(m\) е:
\[ m = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см} \]
Даден е трапец със средна отсечка 9 см и една основа 7 см. Намерете дължината на другата основа.
Нека \(a=7\) см, \(m=9\) см. Търсим \(b\).
\[ 9 = \frac{7 + b}{2} \]
\[ 18 = 7 + b \]
\[ b = 18 - 7 = 11 \text{ см} \]
Отговор: Другата основа е 11 см.
Ако права минава през средата на едно от бедрата на трапец и е успоредна на основите, то тя пресича другото бедро в неговата среда.
В трапец ABCD точка M е средата на бедрото AD. Ако построим права през M, успоредна на основата AB, тя ще пресече бедрото BC в точка N, която е среда на BC. Това означава, че отсечката MN е средната отсечка на трапеца.
В трапец ABCD (AB || CD), M е средата на AD. Права през M, успоредна на AB, пресича BC в точка N. Ако дължината на цялото бедро BC е 12 см, колко е дълга отсечката BN?
Според теоремата, точка N е средата на BC.
Следователно, \(BN = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6\) см.
Отговор: 6 см.
Следователно, \(BN = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6\) см.
Отговор: 6 см.
Диагоналите на трапеца разделят средната му отсечка на три части. Двете крайни части са равни, а средната има различна дължина.
Нека основите са \(a\) и \(b\) (\(a > b\)), а пресечните точки на диагоналите със средната отсечка са P и Q.
- Крайните отсечки са равни на половината от малката основа: \( MP = QN = \frac{b}{2} \)
- Средната отсечка (между диагоналите) е равна на полуразликата на основите: \( PQ = \frac{a - b}{2} \)
Даден е трапец с основи 22 см и 8 см. Средната отсечка се пресича от диагоналите в точки P и Q.
Дължината на отсечката PQ, заключена между диагоналите, е: \( PQ = \frac{22 - 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) см.
Дължината на отсечката PQ, заключена между диагоналите, е: \( PQ = \frac{22 - 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) см.
Основите на трапец са 16 см и 6 см. Средната му отсечка MN пресича диагонала AC в точка P. Намерете дължината на отсечката MP.
Отсечката MP е равна на половината от малката основа (тази, която не е пресечена от MP, преди MP да стигне до диагонала).
Малката основа е 6 см.
\( MP = \frac{6}{2} = 3 \) см.
Отговор: 3 см.
Малката основа е 6 см.
\( MP = \frac{6}{2} = 3 \) см.
Отговор: 3 см.
Задачи за упражнение
Лесна: Основите на трапец са 15 см и 9.4 см. Намерете дължината на средната му отсечка.
Използваме формулата \( m = \frac{a+b}{2} \).
\[ m = \frac{15 + 9.4}{2} = \frac{24.4}{2} = 12.2 \text{ см} \]
Отговор: 12.2 см.
Средна: Диагоналът AC в трапец ABCD (AB || CD) разполовява ъгъла при върха A. Намерете средната отсечка на трапеца, ако AB = 10 см и AD = 6 см.
Тъй като AC е ъглополовяща на \( \angle DAB \), то \( \angle DAC = \angle CAB \).
Тъй като AB || CD, то \( \angle CAB = \angle DCA \) (като кръстни ъгли).
От горните две равенства следва, че \( \angle DAC = \angle DCA \), което означава, че \( \triangle ADC \) е равнобедрен с \( AD = CD \).
Дадено е AD = 6 см, следователно CD = 6 см.
Сега имаме двете основи: AB = 10 см и CD = 6 см.
Средната отсечка \( m = \frac{10+6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
Отговор: 8 см.
Тъй като AB || CD, то \( \angle CAB = \angle DCA \) (като кръстни ъгли).
От горните две равенства следва, че \( \angle DAC = \angle DCA \), което означава, че \( \triangle ADC \) е равнобедрен с \( AD = CD \).
Дадено е AD = 6 см, следователно CD = 6 см.
Сега имаме двете основи: AB = 10 см и CD = 6 см.
Средната отсечка \( m = \frac{10+6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
Отговор: 8 см.
Трудна: Средната отсечка на трапец е 11 см, а частта от нея, заключена между диагоналите му, е 3 см. Намерете основите на трапеца.
Нека основите са \(a\) и \(b\). Имаме следната система от уравнения:
1) \( m = \frac{a+b}{2} \Rightarrow 11 = \frac{a+b}{2} \Rightarrow a+b = 22 \)
2) \( PQ = \frac{a-b}{2} \Rightarrow 3 = \frac{a-b}{2} \Rightarrow a-b = 6 \)
Събираме двете уравнения:
\( (a+b) + (a-b) = 22 + 6 \)
\( 2a = 28 \Rightarrow a = 14 \) см.
Заместваме \(a\) в първото уравнение:
\( 14 + b = 22 \Rightarrow b = 8 \) см.
Отговор: Основите на трапеца са 14 см и 8 см.
1) \( m = \frac{a+b}{2} \Rightarrow 11 = \frac{a+b}{2} \Rightarrow a+b = 22 \)
2) \( PQ = \frac{a-b}{2} \Rightarrow 3 = \frac{a-b}{2} \Rightarrow a-b = 6 \)
Събираме двете уравнения:
\( (a+b) + (a-b) = 22 + 6 \)
\( 2a = 28 \Rightarrow a = 14 \) см.
Заместваме \(a\) в първото уравнение:
\( 14 + b = 22 \Rightarrow b = 8 \) см.
Отговор: Основите на трапеца са 14 см и 8 см.
