Най-важното от урока
Ключови изводи: В комбинаториката броим възможности. Най-важният въпрос е: "Има ли значение редът?"
- Пермутации (\(P_n\)): Подреждане на всички елементи. Пример: Нареждане на 4 книги на рафт -> \(P_4\).
- Вариации (\(V_n^k\)): Избор на \(k\) от \(n\) елемента, където редът е важен. Пример: Избор на шампион и вицешампион от 10 отбора -> \(V_{10}^2\).
- Комбинации (\(C_n^k\)): Избор на \(k\) от \(n\) елемента, където редът не е важен. Пример: Избор на 2-ма делегати от 10 души -> \(C_{10}^2\).
Пермутациите са подреждания на **всички** елементи от дадено множество. Различават се само по **реда** на елементите.
Брой на пермутациите на \(n\) елемента:
\[ P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \]
Където \(n!\) се чете "ен факториел". По дефиниция \(0! = 1\).
По колко начина могат да се подредят 4 момичета в един ред за снимка? Редът има значение и използваме всички елементи.
Решение: \(P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) начина.
Решение: \(P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) начина.
По колко различни начина могат да се наредят 5 различни книги на един рафт?
Тъй като подреждаме всички 5 книги и редът им е от значение, използваме пермутации.
Отговор: \(P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\) начина.
Отговор: \(P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\) начина.
Вариациите са подреждания на \(k\) различни елемента, избрани от множество с \(n\) елемента. Вариациите се различават по **състава** на елементите или по техния **ред**.
Брой на вариациите на \(n\) елемента от \(k\)-ти клас:
\[ V_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \]
Формулата представлява произведение на \(k\) на брой множители.
По колко начина можем да образуваме израза \(ax+b\) (\(a \ne b\)) от множеството \(A = \{5, 7, 9, 11, 13, 15, 17\}\)?
Множеството има \(n=7\) елемента. Избираме \(k=2\) елемента (\(a\) и \(b\)). Редът е важен, защото \(5x+7\) е различно от \(7x+5\).
Решение: \(V_7^2 = 7 \cdot 6 = 42\) израза.
Множеството има \(n=7\) елемента. Избираме \(k=2\) елемента (\(a\) и \(b\)). Редът е важен, защото \(5x+7\) е различно от \(7x+5\).
Решение: \(V_7^2 = 7 \cdot 6 = 42\) израза.
От 10 състезатели, по колко начина могат да се разпределят златният, сребърният и бронзовият медал?
Избираме 3-ма от 10, като редът на класиране има значение (златен медал е различно от сребърен).
Отговор: \(V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\) начина.
Отговор: \(V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\) начина.
Комбинациите са групи от \(k\) различни елемента, избрани от множество с \(n\) елемента. При комбинациите **редът на елементите няма значение**. Различават се само по **състава** си.
Брой на комбинациите на \(n\) елемента от \(k\)-ти клас:
\[ C_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!} = \frac{V_n^k}{P_k} \]
Дадени са 9 точки, никои 3 от които не лежат на една права. Колко прави се определят от тях?
За да определим права, са ни нужни 2 точки (\(k=2\)) от общо 9 (\(n=9\)). Редът на избор на точките не е важен (правата през А и В е същата като правата през В и А).
Решение: \(C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2!} = \frac{72}{2} = 36\) прави.
За да определим права, са ни нужни 2 точки (\(k=2\)) от общо 9 (\(n=9\)). Редът на избор на точките не е важен (правата през А и В е същата като правата през В и А).
Решение: \(C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2!} = \frac{72}{2} = 36\) прави.
В група има 8 ученици. По колко начина може да се сформира екип от 3-ма от тях за участие в състезание?
Избираме 3-ма от 8, като редът на избор няма значение - екипът е един и същ, независимо кой е избран първи.
Отговор: \(C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56\) начина.
Отговор: \(C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56\) начина.
Практическо правило за избор между Вариация и Комбинация
Задайте си въпроса: "Ако разместя местата на два от избраните елементи, получава ли се нещо различно?"
- Ако отговорът е ДА (като медали, постове, подредени цифри) → използваме Вариации.
- Ако отговорът е НЕ (като отбор, комисия, теглене на карти) → използваме Комбинации.
Задачи за упражнение
Лесна: По колко начина могат да се подредят 6 ученици в една редица?
Трябва да подредим всички 6 ученици, като редът има значение. Това е пермутация на 6 елемента.
\(P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\)
Отговор: 720 начина.
\(P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\)
Отговор: 720 начина.
Средна: В един клас има 20 ученици. По колко начина може да се избере председател и заместник-председател?
Избираме 2-ма ученици от 20. Редът има значение, защото позицията "председател" е различна от "заместник-председател". Следователно използваме вариации.
\(V_{20}^2 = 20 \cdot 19 = 380\)
Отговор: 380 начина.
\(V_{20}^2 = 20 \cdot 19 = 380\)
Отговор: 380 начина.
Трудна: Намерете броя на диагоналите в правилен десетоъгълник (\(n=10\)).
1. Първо намираме броя на всички отсечки, които могат да се построят между 10-те върха. Това са комбинации на 10 елемента от 2-ри клас, тъй като една отсечка се определя от 2 точки и редът им няма значение.
\[ C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2!} = \frac{90}{2} = 45 \] 2. Тези 45 отсечки включват както диагоналите, така и 10-те страни на десетоъгълника. 3. За да намерим само диагоналите, изваждаме броя на страните:
\(\text{Брой диагонали} = 45 - 10 = 35\)
Отговор: 35 диагонала.
\[ C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2!} = \frac{90}{2} = 45 \] 2. Тези 45 отсечки включват както диагоналите, така и 10-те страни на десетоъгълника. 3. За да намерим само диагоналите, изваждаме броя на страните:
\(\text{Брой диагонали} = 45 - 10 = 35\)
Отговор: 35 диагонала.
