Най-важното от урока
Основен вид: Квадратното уравнение е \(ax^2 + bx + c = 0\), където \(a \ne 0\).
Непълни уравнения:
Непълни уравнения:
- При \(c=0 \implies ax^2 + bx = 0 \), решава се с изнасяне на \(x\). Пример: \(5x^2-10x=0 \implies 5x(x-2)=0 \implies x_1=0, x_2=2\).
- При \(b=0 \implies ax^2 + c = 0 \), решава се с изолиране на \(x^2\). Пример: \(3x^2-27=0 \implies x^2=9 \implies x_{1,2}=\pm 3\).
- При \(b=0, c=0 \implies ax^2 = 0 \), коренът винаги е \(x=0\). Пример: \(-4x^2=0 \implies x=0\).
Уравнение от вида \(ax^2 + bx + c = 0\), където \(a \ne 0\), се нарича квадратно уравнение. Числата \(a\), \(b\) и \(c\) се наричат негови коефициенти.
\(a\) е коефициентът пред \(x^2\), \(b\) е коефициентът пред \(x\), а \(c\) е свободният член.
В уравнението \(3x^2 - 5x + 7 = 0\):
- \(a = 3\)
- \(b = -5\)
- \(c = 7\)
Определете коефициентите \(a\), \(b\) и \(c\) в уравнението \(x^2 - 9 = 0\).
Тук липсва членът с \(x\), което означава, че коефициентът пред него е 0.
Отговор: \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -9\).
Отговор: \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -9\).
Квадратно уравнение, при което поне един от коефициентите \(b\) или \(c\) е равен на нула, се нарича непълно квадратно уравнение.
1. Когато \(c = 0\): Уравнение от вида \(ax^2 + bx = 0\)
Решава се чрез изнасяне на \(x\) пред скоби: \(x(ax + b) = 0\). Корените винаги са \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -\frac{b}{a}\).
Решава се чрез изнасяне на \(x\) пред скоби: \(x(ax + b) = 0\). Корените винаги са \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -\frac{b}{a}\).
Решение на \(2x^2 - 5x = 0\):
\(x(2x - 5) = 0\)
\(x_1 = 0\) или \(2x - 5 = 0 \implies x_2 = 2.5\)
\(x(2x - 5) = 0\)
\(x_1 = 0\) или \(2x - 5 = 0 \implies x_2 = 2.5\)
2. Когато \(b = 0\): Уравнение от вида \(ax^2 + c = 0\)
Преобразува се до \(x^2 = -\frac{c}{a}\).
Преобразува се до \(x^2 = -\frac{c}{a}\).
- Ако \(-\frac{c}{a} > 0\), има два корена: \(x_{1,2} = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\).
- Ако \(-\frac{c}{a} < 0\), няма реални корени.
Решение на \(x^2 - 2 = 0\):
\(x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}\)
Решение на \(x^2 + 7 = 0\):
\(x^2 = -7\). Няма реални корени.
\(x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}\)
Решение на \(x^2 + 7 = 0\):
\(x^2 = -7\). Няма реални корени.
3. Когато \(b = 0\) и \(c = 0\): Уравнение от вида \(ax^2 = 0\)
Винаги има един двоен корен: \(x = 0\).
Винаги има един двоен корен: \(x = 0\).
Решете непълното квадратно уравнение \(3x^2 - 12 = 0\).
Това е уравнение от вида \(ax^2+c=0\).
\(3x^2 = 12\)
\(x^2 = 4\)
Отговор: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\).
\(3x^2 = 12\)
\(x^2 = 4\)
Отговор: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\).
Някои уравнения не са в основен вид. За да ги решим, трябва първо да ги преобразуваме чрез разкриване на скоби и прехвърляне на всички членове от едната страна на равенството.
Решете уравнението \(2(x-5)^2 = (3x-8)(x-4)\).
\(2(x^2 - 10x + 25) = 3x^2 - 12x - 8x + 32\)
\(2x^2 - 20x + 50 = 3x^2 - 20x + 32\)
\(2x^2 - 20x + 50 = 3x^2 - 20x + 32\)
\(0 = (3x^2 - 2x^2) + (-20x + 20x) + (32 - 50)\)
\(0 = x^2 - 18\)
\(x^2 = 18 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}\)
\(x^2 = 18 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}\)
Сведете до квадратно уравнение и решете \((x+1)^2 = 5x+1\).
\(x^2 + 2x + 1 = 5x + 1\)
\(x^2 + 2x - 5x + 1 - 1 = 0\)
\(x^2 - 3x = 0\)
\(x(x - 3) = 0\)
Отговор: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
\(x^2 + 2x - 5x + 1 - 1 = 0\)
\(x^2 - 3x = 0\)
\(x(x - 3) = 0\)
Отговор: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(7x^2 - 5x = 0\).
Изнасяме \(x\) пред скоби: \(x(7x - 5) = 0\).
Корените са \(x_1 = 0\) и \(7x - 5 = 0 \implies x_2 = \frac{5}{7}\).
Корените са \(x_1 = 0\) и \(7x - 5 = 0 \implies x_2 = \frac{5}{7}\).
Средна: Намерете корените на уравнението \(5x^2 + 25 = 0\).
Прехвърляме свободния член: \(5x^2 = -25\).
Делим на 5: \(x^2 = -5\).
Тъй като квадратът на никое реално число не може да бъде отрицателен, уравнението няма реални корени.
Делим на 5: \(x^2 = -5\).
Тъй като квадратът на никое реално число не може да бъде отрицателен, уравнението няма реални корени.
Трудна: Решете уравнението \( (2x-1)^2 - 2(x+3) = 3x^2 - 7 \).
Разкриваме скобите:
\((4x^2 - 4x + 1) - (2x + 6) = 3x^2 - 7\)
\(4x^2 - 4x + 1 - 2x - 6 = 3x^2 - 7\)
Опростяваме и прехвърляме всичко отляво:
\(4x^2 - 3x^2 - 4x - 2x + 1 - 6 + 7 = 0\)
\(x^2 - 6x + 2 = 0\)
(Забележка: Това е пълно квадратно уравнение. Неговите корени се намират с формула, която не е част от този урок. Ще го решим чрез допълване до точен квадрат.)
\(x^2 - 6x + 9 - 9 + 2 = 0\)
\((x-3)^2 - 7 = 0\)
\((x-3)^2 = 7\)
\(x-3 = \pm\sqrt{7}\)
Отговор: \(x_1 = 3 + \sqrt{7}\), \(x_2 = 3 - \sqrt{7}\).
\((4x^2 - 4x + 1) - (2x + 6) = 3x^2 - 7\)
\(4x^2 - 4x + 1 - 2x - 6 = 3x^2 - 7\)
Опростяваме и прехвърляме всичко отляво:
\(4x^2 - 3x^2 - 4x - 2x + 1 - 6 + 7 = 0\)
\(x^2 - 6x + 2 = 0\)
(Забележка: Това е пълно квадратно уравнение. Неговите корени се намират с формула, която не е част от този урок. Ще го решим чрез допълване до точен квадрат.)
\(x^2 - 6x + 9 - 9 + 2 = 0\)
\((x-3)^2 - 7 = 0\)
\((x-3)^2 = 7\)
\(x-3 = \pm\sqrt{7}\)
Отговор: \(x_1 = 3 + \sqrt{7}\), \(x_2 = 3 - \sqrt{7}\).
