Най-важното от урока
Взаимното положение на права и окръжност зависи от сравнението на радиуса \(r\) и разстоянието \(d\) от центъра до правата:
Ако \(d > r\): Нямат общи точки (външна права).
Ако \(d < r\): Имат 2 общи точки (секуща).
Ако \(d = r\): Имат 1 обща точка (допирателна).
Ако \(d > r\): Нямат общи точки (външна права).
Ако \(d < r\): Имат 2 общи точки (секуща).
Ако \(d = r\): Имат 1 обща точка (допирателна).
Ако разстоянието \(d\) от центъра на окръжността до правата е по-голямо от радиуса \(r\), правата и окръжността нямат общи точки.
Дадена е окръжност с радиус \(r=5\) cm. Права \(a\) е на разстояние \(d=7\) cm от центъра. Тъй като \(7 > 5\) (т.е. \(d > r\)), правата е външна за окръжността и нямат общи точки.
Окръжност има радиус 10 cm. Права е на разстояние 12 cm от центъра ѝ. Колко общи точки имат?
Отговор: 0 общи точки, защото разстоянието е по-голямо от радиуса (\(12 > 10\)).
Ако разстоянието \(d\) от центъра до правата е по-малко от радиуса \(r\), правата пресича окръжността в две общи точки. Такава права се нарича секуща.
Дадена е окръжност с радиус \(r=8\) cm. Права \(a\) е на разстояние \(d=5\) cm от центъра. Тъй като \(5 < 8\) (т.е. \(d < r\)), правата е секуща и има две общи точки с окръжността.
Окръжност с радиус \(r = 6\) cm е пресечена от права, намираща се на разстояние 2 cm от центъра. Колко общи точки имат?
Отговор: 2 общи точки, защото разстоянието е по-малко от радиуса (\(2 < 6\)).
Ако разстоянието \(d\) от центъра до правата е равно на радиуса \(r\), правата и окръжността имат само една обща точка. Тази права се нарича допирателна (тангента), а общата точка – допирна точка.
Дадена е окръжност с радиус \(r=4\) cm. Права \(a\) е на разстояние \(d=4\) cm от центъра. Тъй като \(4 = 4\) (т.е. \(d = r\)), правата е допирателна и има една обща точка с окръжността.
Права \(t\) допира окръжност \(k\) с радиус 9 cm. На какво разстояние се намира правата \(t\) от центъра на окръжността?
Отговор: Щом правата е допирателна, разстоянието от нея до центъра е равно на радиуса, т.е. 9 cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е окръжност \(k(O; r=7 \text{ cm})\) и права \(a\), за която разстоянието от \(O\) до \(a\) е \(d=5 \text{ cm}\). Определете взаимното положение на правата и окръжността.
Тъй като \(d = 5 \text{ cm}\) и \(r = 7 \text{ cm}\), то \(d < r\). Следователно правата е секуща и има 2 общи точки с окръжността.
Средна: Окръжност \(k\) е с център в началото на координатната система \(O(0,0)\) и радиус \(r=5\). Определете броя на общите точки на \(k\) с правата \(x = -5\).
Разстоянието от центъра \(O(0,0)\) до правата \(x=-5\) е \(d=|-5|=5\). Тъй като \(d=r=5\), правата е допирателна и имат 1 обща точка.
Трудна: Даден е правоъгълен триъгълник \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 8\) cm и \(BC = 15\) cm. Намерете броя на общите точки на правата \(BC\) с окръжност \(k(A; r=6 \text{ cm})\).
Центърът на окръжността е точка \(A\). Търсим разстоянието от \(A\) до правата \(BC\).
Тъй като \(\triangle ABC\) е правоъгълен с прав ъгъл при върха \(C\), катетът \(AC\) е перпендикулярен на катета \(BC\).
Следователно разстоянието \(d\) от \(A\) до правата \(BC\) е равно на дължината на катета \(AC\), т.е. \(d = AC = 8\) cm.
Радиусът на окръжността е \(r=6\) cm.
Сравняваме \(d\) и \(r\): \(8 > 6\), т.е. \(d > r\).
Правата е външна за окръжността и нямат общи точки.
