Най-важното от урока
Комбинаторика: Брои възможните избори и подредби.
Правило за събиране (избор "ИЛИ"): Ако имаш 3 тениски и 2 ризи, можеш да избереш една дреха за горната част на тялото по \(3 + 2 = 5\) начина.
Правило за умножение (избор "И"): Ако имаш 3 панталона и 5 блузи, можеш да съставиш облекло (панталон И блуза) по \(3 \cdot 5 = 15\) начина.
Правило за събиране (избор "ИЛИ"): Ако имаш 3 тениски и 2 ризи, можеш да избереш една дреха за горната част на тялото по \(3 + 2 = 5\) начина.
Правило за умножение (избор "И"): Ако имаш 3 панталона и 5 блузи, можеш да съставиш облекло (панталон И блуза) по \(3 \cdot 5 = 15\) начина.
Множество е съвкупност от обекти (елементи), обединени по общ признак.
Подмножество е множество, чиито елементи принадлежат и на друго, по-голямо множество.
Множеството на гласните букви {а, ъ, о, у, е, и} е подмножество на множеството на всички букви в българската азбука. Буквата 'о' е елемент от множеството на гласните.
Дадено е множеството на цифрите {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Дайте пример за негово подмножество с 4 елемента.
Примерен отговор: Множеството на нечетните цифри, по-малки от 8, е {1, 3, 5, 7}. То е подмножество на даденото.
Комбинаториката е раздел от математиката, който изучава различните възможности за избор и подредба на елементи от крайно множество.
Групите или редиците от елементи, които образуваме, се наричат съединения.
Задача: По колко начина можем да подредим буквите А и Б?
Решение: Можем да ги подредим по два начина: АБ и БА. Всяка от тези подредби е различно съединение.
Решение: Можем да ги подредим по два начина: АБ и БА. Всяка от тези подредби е различно съединение.
Иван, Петър и Георги се състезават в бягане. По колко различни начина могат да се разпределят златният и сребърният медал? (Подредбата има значение).
Отговор: Има 6 възможни разпределения:
- Иван (златен), Петър (сребърен)
- Иван (златен), Георги (сребърен)
- Петър (златен), Иван (сребърен)
- Петър (златен), Георги (сребърен)
- Георги (златен), Иван (сребърен)
- Георги (златен), Петър (сребърен)
Ако обект \(a\) може да бъде избран по \(m\) начина, а обект \(b\) по \(n\) начина, то изборът на \(a\) или \(b\) може да стане по \(m + n\) начина.
Използва се, когато задачите включват съюза "или" – избираме едно или друго.
В сладкарница има 7 вида торти и 5 вида пасти. По колко начина можем да изберем един десерт?
Решение: Можем да изберем торта (7 начина) или паста (5 начина). Общият брой начини е \(7 + 5 = 12\).
Решение: Можем да изберем торта (7 начина) или паста (5 начина). Общият брой начини е \(7 + 5 = 12\).
За училищен празник трябва да се избере един водещ. Кандидатите са 8 момичета и 5 момчета. По колко начина може да се избере водещ?
Отговор: Избираме момиче (8 начина) ИЛИ момче (5 начина). Общо: \(8 + 5 = 13\) начина.
Ако обект \(a\) може да бъде избран по \(m\) начина и при всеки от тези избори обект \(b\) може да бъде избран по \(n\) начина, то изборът на двойката \((a; b)\) може да стане по \(m \cdot n\) начина.
Използва се, когато правим поредица от избори – избираме едно, а след това и друго.
Мария има 3 блузи и 4 поли. По колко различни начина може да се облече?
Решение: За всяка от 3-те блузи, тя може да избере коя да е от 4-те поли. Общият брой комбинации е \(3 \cdot 4 = 12\).
Решение: За всяка от 3-те блузи, тя може да избере коя да е от 4-те поли. Общият брой комбинации е \(3 \cdot 4 = 12\).
Колко двуцифрени числа могат да се съставят с цифрите 1, 2, 3 и 4, без да се повтарят?
Отговор: За първа цифра имаме 4 възможности. След като изберем първата, за втората остават 3 възможности. Общо: \(4 \cdot 3 = 12\) числа.
Задачи за упражнение
Лесна: В един стол предлагат 3 вида супи и 5 вида основни ястия. По колко начина можете да си поръчате супа или основно ястие?
Използваме принципа на събиране, защото избираме едно от двете.
\(3 + 5 = 8\) начина.
\(3 + 5 = 8\) начина.
Средна: В същия стол (3 вида супи и 5 вида основни) по колко начина можете да си поръчате обяд от супа и основно ястие?
Използваме принципа на умножение, защото правим последователен избор.
За всяка от 3-те супи можем да изберем от 5 основни.
\(3 \cdot 5 = 15\) начина.
За всяка от 3-те супи можем да изберем от 5 основни.
\(3 \cdot 5 = 15\) начина.
Трудна: Колко трицифрени числа с различни цифри могат да се съставят с цифрите 0, 1, 2 и 3? (Внимание: числото не може да започва с 0).
Прилагаме принципа на умножение поетапно:
- Цифра на стотиците: Може да бъде 1, 2 или 3 (3 възможности, без 0).
- Цифра на десетиците: Може да бъде всяка от останалите 3 цифри (включително 0). Например, ако сме избрали 1 за стотици, остават 0, 2, 3 (3 възможности).
- Цифра на единиците: Може да бъде всяка от останалите 2 цифри.
