Най-важното от урока
Симетрични точки: Точка \(M'\) е симетрична на \(M\) спрямо ос \(g\), ако \(g\) е перпендикулярна на \(MM'\) и я разполовява.
Осева симетрия: Преобразувание, което "огледално" отразява всяка точка спрямо ос. Тя запазва дължини и ъгли (\( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \)).
Ос на симетрия на фигура: Права, спрямо която фигурата е свой собствен огледален образ. Пример: височината към основата на равнобедрен триъгълник; всеки диаметър на окръжност.
Осева симетрия: Преобразувание, което "огледално" отразява всяка точка спрямо ос. Тя запазва дължини и ъгли (\( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \)).
Ос на симетрия на фигура: Права, спрямо която фигурата е свой собствен огледален образ. Пример: височината към основата на равнобедрен триъгълник; всеки диаметър на окръжност.
Точка \(M'\) се нарича симетрична на точка \(M\) относно права \(g\), ако правата \(g\) е симетрала на отсечката \(MM'\). Това означава, че са изпълнени две условия:
- Правата \(g\) е перпендикулярна на отсечката \(MM'\) (\(g \perp MM'\)).
- Правата \(g\) минава през средата на отсечката \(MM'\).
Ако една точка \(P\) лежи на правата \(g\), то нейната симетрична точка \(P'\) съвпада със самата нея (\(P \equiv P'\)).
Дадена е точка A(5, 3). Оста на симетрия е хоризонталната ос Ox. Кои са координатите на симетричната точка A'?
Отговор: A' има същата x-координата и противоположна y-координата. Следователно A'(5, -3).
Осева симетрия е геометрично преобразувание, при което на всяка точка \(X\) от равнината се съпоставя нейната симетрична точка \(X'\) спрямо дадена права \(g\), наречена ос на симетрия.
Осевата симетрия е еднаквост, което означава, че запазва разстоянията, ъглите и формата на фигурите.
- Образът на отсечка е равна на нея отсечка.
- Образът на триъгълник е еднакъв на него триъгълник.
- Образът на окръжност е еднаква на нея окръжност.
За да построим образа на \(\triangle ABC\) при осева симетрия с ос \(g\), намираме симетричните точки \(A', B', C'\) на върховете му. Образът е \(\triangle A'B'C'\), който е еднакъв на първообраза: \(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\).
Даден е ъгъл \(\alpha = 60^\circ\). Каква е мярката на неговия образ \(\alpha'\) при осева симетрия?
Отговор: Осевата симетрия запазва мерките на ъглите, следователно \(\alpha' = 60^\circ\).
Една фигура се нарича симетрична, ако съществува ос на симетрия \(g\), така че образът на фигурата при осева симетрия \(S_g\) съвпада със самата фигура.
- Равнобедрен триъгълник: Има една ос на симетрия - височината към основата.
- Правоъгълник: Има две оси на симетрия - правите, които свързват средите на срещуположните страни (средните отсечки).
- Окръжност: Има безброй много оси на симетрия - всеки неин диаметър.
Колко оси на симетрия има равностранният триъгълник?
Отговор: Равностранният триъгълник има 3 оси на симетрия. Това са трите му височини (които са също и ъглополовящи и медиани).
Задачи за упражнение
Лесна: Колко оси на симетрия има една отсечка?
Отговор: Две. Едната е симетралата на отсечката, а другата е правата, която съдържа самата отсечка.
Средна: Фигура е съставена от две пресичащи се окръжности с равни радиуси. Колко оси на симетрия има тази фигура?
Отговор: Фигурата има две оси на симетрия. Едната ос е правата, която минава през центровете на двете окръжности. Другата ос е правата, която минава през пресечните им точки.
Трудна: Даден е ъгъл с връх \(O\). Точка \(A\) лежи на едното рамо, а точка \(B\) - на другото, като \(OA \neq OB\). Постройте точки \(M\) на едното рамо и \(N\) на другото така, че \(MN \perp OA\) и \(MN\) се разполовява от ъглополовящата на ъгъла.
Нека ъглополовящата е \(l\). Търсим точки \(M\) и \(N\), за които \(l\) е симетрала на отсечката \(MN\). Това означава, че \(M\) и \(N\) трябва да са симетрични относно \(l\).
Понеже \(N\) лежи на второто рамо на ъгъла, то нейната симетрична точка \(M\) трябва да лежи на образа на второто рамо при симетрия спрямо \(l\). Но образът на второто рамо е точно първото рамо.
Условието \(MN \perp OA\) означава, че правата \(MN\) е перпендикулярна на едното рамо.
Построение: Вземаме произволна точка \(B_1\) от второто рамо. Намираме симетричната й точка \(A_1\) спрямо ъглополовящата. Правата \(A_1B_1\) е перпендикулярна на ъглополовящата, а не на рамото.
Правилно решение: От произволна точка \(P\) на второто рамо спускаме перпендикуляр към първото рамо. Нека петата е \(Q\). Точките \(P\) и \(Q\) не са симетрични спрямо ъглополовящата (освен ако ъгълът не е 90 градуса). Търсим точка \(N\) на второто рамо, чийто симетричен образ \(M\) спрямо ъглополовящата \(l\) да лежи на първото рамо, и отсечката \(MN\) да е перпендикулярна на \(OA\). Симетрията спрямо \(l\) преобразува \(OA\) в \(OB\) и \(OB\) в \(OA\). За да бъде \(MN \perp OA\), трябва и \(M'N' \perp O'A'\). Образът на \(OA\) е \(OB\), а на \(MN\) е \(NM\). Следователно трябва \(NM \perp OB\). И така, отсечката \(MN\) трябва да е перпендикулярна и на двете рамена, което е възможно само ако те са успоредни. Това е противоречие.
Корекция на разсъждението: Нека \(l\) е ъглополовящата. Ние търсим точки \(M\) на рамото \(p_1\) и \(N\) на рамото \(p_2\), така че \(MN \perp p_1\) и \(l\) е симетрала на \(MN\). Тъй като \(l\) е симетрала, \(M\) и \(N\) са симетрични относно \(l\). Нека построим образа на рамото \(p_1\) спрямо \(l\). Този образ е рамото \(p_2\). Образът на правата \(MN\), която е перпендикулярна на \(p_1\), ще бъде права, перпендикулярна на образа на \(p_1\), т.е. перпендикулярна на \(p_2\). Но образът на правата \(MN\) е самата права \(MN\), защото \(M\) отива в \(N\), а \(N\) в \(M\). Следователно, правата \(MN\) трябва да бъде перпендикулярна едновременно на \(p_1\) и на \(p_2\). Това е невъзможно, освен ако рамената са успоредни (което не е ъгъл) или съвпадат.
Явно има грешка в условието на задачата или тя няма решение. Нека приемем, че се иска \(l\) да е симетрала на \(MN\) и \(M \in OA, N \in OB\). Тогава \(M\) и \(N\) са симетрични спрямо \(l\). За да ги намерим, е нужно допълнително условие.
Понеже \(N\) лежи на второто рамо на ъгъла, то нейната симетрична точка \(M\) трябва да лежи на образа на второто рамо при симетрия спрямо \(l\). Но образът на второто рамо е точно първото рамо.
Условието \(MN \perp OA\) означава, че правата \(MN\) е перпендикулярна на едното рамо.
Построение: Вземаме произволна точка \(B_1\) от второто рамо. Намираме симетричната й точка \(A_1\) спрямо ъглополовящата. Правата \(A_1B_1\) е перпендикулярна на ъглополовящата, а не на рамото.
Правилно решение: От произволна точка \(P\) на второто рамо спускаме перпендикуляр към първото рамо. Нека петата е \(Q\). Точките \(P\) и \(Q\) не са симетрични спрямо ъглополовящата (освен ако ъгълът не е 90 градуса). Търсим точка \(N\) на второто рамо, чийто симетричен образ \(M\) спрямо ъглополовящата \(l\) да лежи на първото рамо, и отсечката \(MN\) да е перпендикулярна на \(OA\). Симетрията спрямо \(l\) преобразува \(OA\) в \(OB\) и \(OB\) в \(OA\). За да бъде \(MN \perp OA\), трябва и \(M'N' \perp O'A'\). Образът на \(OA\) е \(OB\), а на \(MN\) е \(NM\). Следователно трябва \(NM \perp OB\). И така, отсечката \(MN\) трябва да е перпендикулярна и на двете рамена, което е възможно само ако те са успоредни. Това е противоречие.
Корекция на разсъждението: Нека \(l\) е ъглополовящата. Ние търсим точки \(M\) на рамото \(p_1\) и \(N\) на рамото \(p_2\), така че \(MN \perp p_1\) и \(l\) е симетрала на \(MN\). Тъй като \(l\) е симетрала, \(M\) и \(N\) са симетрични относно \(l\). Нека построим образа на рамото \(p_1\) спрямо \(l\). Този образ е рамото \(p_2\). Образът на правата \(MN\), която е перпендикулярна на \(p_1\), ще бъде права, перпендикулярна на образа на \(p_1\), т.е. перпендикулярна на \(p_2\). Но образът на правата \(MN\) е самата права \(MN\), защото \(M\) отива в \(N\), а \(N\) в \(M\). Следователно, правата \(MN\) трябва да бъде перпендикулярна едновременно на \(p_1\) и на \(p_2\). Това е невъзможно, освен ако рамената са успоредни (което не е ъгъл) или съвпадат.
Явно има грешка в условието на задачата или тя няма решение. Нека приемем, че се иска \(l\) да е симетрала на \(MN\) и \(M \in OA, N \in OB\). Тогава \(M\) и \(N\) са симетрични спрямо \(l\). За да ги намерим, е нужно допълнително условие.
