Подготовка за Изходно Ниво Примерен Тест с Решения

Най-важното от урока

Стойността на всяка цифра в едно число зависи от нейната позиция (десетична позиционна система).

Правило 1: От две числа с различен брой цифри, по-голямо е това с повече цифри. (Пример: $1024 > 987$)
Правило 2: Ако числата имат равен брой цифри, сравняваме ги отляво надясно. По-голямо е числото, което първо има по-голяма цифра в съответния ред.

Да сравним 53 481 и 53 299.
- Цифрите на десетохилядните са равни (5=5).
- Цифрите на хилядите са равни (3=3).
- Цифрите на стотиците са различни. Тъй като $4 > 2$, то $53 481 > 53 299$.

Кое е по-голямо: 9 876 или 10 001?

Отговор: 10 001 е по-голямо, защото има 5 цифри, а 9 876 има 4 цифри.

Непозиционна бройна система, използваща букви:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

Правило за събиране: Ако буква с по-малка стойност е вдясно от буква с по-голяма, стойностите им се събират.
Правило за изваждане: Ако буква с по-малка стойност е вляво от буква с по-голяма, стойността ѝ се изважда.

- $ \text{VI} = 5 + 1 = 6 $ (събиране)
- $ \text{XI} = 10 + 1 = 11 $ (събиране)
- $ \text{IV} = 5 - 1 = 4 $ (изваждане)
- $ \text{IX} = 10 - 1 = 9 $ (изваждане)
- $ \text{XIX} = 10 + (10 - 1) = 19 $ (комбинирано)

Запишете числото 14 с римски цифри.

Отговор: $14 = 10 + 4 = X + IV = \text{XIV}$.

Числата се записват едно под друго, като се подравняват по редове (единици под единици, десетици под десетици и т.н.).

Действието започва отдясно наляво. Ако сборът в даден ред е 10 или повече, десетиците се "пренасят" като единица в следващия (по-висок) ред.

Действието започва отдясно наляво. Ако в даден ред цифрата на умаляемото е по-малка от тази на умалителя, "вземаме назаем" 1 единица от по-високия ред, която се превръща в 10 единици в текущия.

\[ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & & \overset{1}{3} & \overset{1}{2} & 5 \\ + & & 7 & 9 & 4 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 9 \\ \end{array} \quad \quad \quad \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & \overset{\cdot}{5} & \overset{10}{\overset{\cdot}{2}} & \overset{10}{3} & \overset{10}{4} \\ - & & 3 & 1 & 7 \\ \hline & 4 & 9 & 1 & 7 \\ \end{array} \]

Пресметнете разликата $1000 - 345$.

Отговор: $1000 - 345 = 655$.

При умножение на многоцифрено с двуцифрено число, първо умножаваме с единиците, а след това с десетиците, като второто произведение се записва отместено с една позиция наляво. Накрая събираме получените произведения.

При умножение с 10, 100, 1000... просто добавяме съответния брой нули в края на числото.

Умножение на $1456 \cdot 43$:
\[ \begin{array}{r} 1456 \\ \times \quad 43 \\ \hline 4368 \\ +\quad 5824\phantom{0} \\ \hline 62608 \end{array} \] Първи ред: $1456 \cdot 3 = 4368$.
Втори ред: $1456 \cdot 4 = 5824$, записано с отместване.

Пресметнете $254 \cdot 21$.

$254 \cdot 1 = 254$.
$254 \cdot 20 = 5080$.
$254 + 5080 = 5334$.
Отговор: 5334.

Делението се извършва отляво надясно. Отделяме от делимото толкова цифри, колкото са нужни, за да се получи число, по-голямо или равно на делителя. Извършваме деление, намираме остатъка, "сваляме" следващата цифра и повтаряме процеса.

При деление на 10, 100, 1000... просто премахваме съответния брой нули от края на числото.

Деление на $876 : 12$:
\[ \begin{array}{r} 73 \\ 12 \overline{) 876} \\ -84\phantom{0} \\ \hline 36 \\ -36 \\ \hline 0 \end{array} \] 1. $87:12 = 7$. $7 \cdot 12 = 84$. Остатък $87-84=3$.
2. Сваляме 6 до остатъка и получаваме 36.
3. $36:12 = 3$. $3 \cdot 12 = 36$. Остатък $36-36=0$.

Пресметнете $1525 : 5$.

Отговор: $1525 : 5 = 305$.

Свойствата помагат за по-лесно и рационално пресмятане на изрази.

Разместително: $ a+b=b+a $; $ a \cdot b=b \cdot a $
Сдружително: $ (a+b)+c=a+(b+c) $; $ (a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c) $
Разпределително: $ (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $; $ (a+b) : c = a:c + b:c $

Пресметнете рационално $125 \cdot 17 \cdot 8$.
Използваме разместително и сдружително свойство, за да групираме 125 и 8:
$ (125 \cdot 8) \cdot 17 = 1000 \cdot 17 = 17000 $

Пресметнете рационално $ 23 \cdot 57 + 23 \cdot 43 $.

Изнасяме общ множител 23 (разпределително свойство):
$ 23 \cdot (57+43) = 23 \cdot 100 = 2300 $

Неизвестно събираемо: $ \Box + a = b \rightarrow \Box = b - a $
Неизвестен множител: $ \Box \cdot a = b \rightarrow \Box = b : a $
Неизвестно умаляемо: $ \Box - a = b \rightarrow \Box = b + a $
Неизвестно делимо: $ \Box : a = b \rightarrow \Box = b \cdot a $
Неизвестен умалител: $ a - \Box = b \rightarrow \Box = a - b $
Неизвестен делител: $ a : \Box = b \rightarrow \Box = a : b $

Намерете $ \Box $ в израза $ ( \Box - 20) \cdot 5 = 100 $.
1. Разглеждаме $ (\Box - 20) $ като неизвестен множител:
$ \Box - 20 = 100 : 5 \rightarrow \Box - 20 = 20 $
2. Сега намираме $ \Box $ като неизвестно умаляемо:
$ \Box = 20 + 20 \rightarrow \Box = 40 $

Намерете неизвестното число: $ 50 - \Box \cdot 4 = 10 $

1. $ \Box \cdot 4 $ е неизвестен умалител: $ \Box \cdot 4 = 50 - 10 \rightarrow \Box \cdot 4 = 40 $.
2. $ \Box $ е неизвестен множител: $ \Box = 40 : 4 \rightarrow \Box = 10 $.

Обиколката (P) е сборът от дължините на всички страни на една фигура.

Лицето (S) е площта, която фигурата заема.

За правоъгълник със страни $a$ и $b$:
$ P = 2 \cdot (a+b) $
$ S = a \cdot b $

За квадрат със страна $a$:
$ P = 4 \cdot a $
$ S = a \cdot a $

Намерете лицето на правоъгълник с обиколка 20 см и една страна 6 см.

1. Намираме другата страна $b$. $ P = 2 \cdot (6+b) \rightarrow 20 = 12 + 2 \cdot b \rightarrow 2 \cdot b = 8 \rightarrow b=4$ см.
2. Намираме лицето: $ S = a \cdot b = 6 \cdot 4 = 24 $ кв. см.

Видове ъгли:
- Остър: по-малък от 90° {Илюстрация на остър ъгъл}

- Прав: равен на 90° {Илюстрация на прав ъгъл}

- Тъп: по-голям от 90° $Илюстрация на тъп ъгъл. Начертайте връх B. От върха B излизат две отсечки (лъчи) BA и BC. Разположението на отсечките трябва да формира ъгъл $\angle ABC$, който е ясно видим като тъп (по-голям от 90 градуса, но по-малък от 180 градуса). Позиционирайте отсечка BA да е хоризонтална и да сочи наляво от B. Отсечка BC трябва да сочи нагоре и леко наляво от B, така че да образува ясно видим тъп ъгъл. Маркирайте точки A, B и C.$

Видове триъгълници според страните:
- Разностранен: три различни страни.
- Равнобедрен: две равни страни (бедра).
- Равностранен: три равни страни.

Видове триъгълници според ъглите:
- Остроъгълен: три остри ъгъла.
- Правоъгълен: един прав ъгъл.
- Тъпоъгълен: един тъп ъгъл.

Какъв е триъгълник с обиколка 30 см и две страни по 12 см според страните му?

Третата страна е $30 - (12+12) = 30 - 24 = 6$ см. Тъй като две от страните са равни, триъгълникът е равнобедрен.

Задачи за упражнение

Лесна: Пресметнете стойността на израза $120 + 80 : 4 \cdot 5$.

Спазваме реда на действията (деление и умножение преди събиране):
$120 + 20 \cdot 5 = 120 + 100 = 220$.
Отговор: 220.

Средна: Намерете неизвестното число в равенството: $ (150 - \Box) \cdot 3 + 50 = 200 $.

1. Разглеждаме $ (150 - \Box) \cdot 3 $ като неизвестно събираемо:
$ (150 - \Box) \cdot 3 = 200 - 50 \rightarrow (150 - \Box) \cdot 3 = 150 $
2. Разглеждаме $ (150 - \Box) $ като неизвестен множител:
$ 150 - \Box = 150 : 3 \rightarrow 150 - \Box = 50 $
3. Разглеждаме $ \Box $ като неизвестен умалител:
$ \Box = 150 - 50 \rightarrow \Box = 100 $
Отговор: 100.

Трудна: Двор с правоъгълна форма има дължина 20 метра и лице 300 кв. м. Колко метра телена мрежа са необходими, за да се огради дворът, ако трябва да се остави място за врата с широчина 2 метра?

1. Намираме широчината на двора:
$ S = \text{дължина} \cdot \text{широчина} \rightarrow 300 = 20 \cdot b \rightarrow b = 300:20 = 15 $ метра.
2. Намираме обиколката (дължината на цялата ограда):
$ P = 2 \cdot (20+15) = 2 \cdot 35 = 70 $ метра.
3. Изваждаме дължината на вратата:
$ 70 - 2 = 68 $ метра.
Отговор: Необходими са 68 метра мрежа.