Най-важното от урока
Разместително свойство: Можем да разместваме множителите. Пример: \(5 \cdot 18 = 18 \cdot 5\).
Съдружително свойство: Можем да групираме множителите по различен начин. Пример: \((2 \cdot 8) \cdot 5 = 2 \cdot (8 \cdot 5)\).
Разпределително свойство: Умножението може да се "разпредели" при събиране/изваждане. Помага за лесно смятане. Пример: \(7 \cdot (100 - 2) = 7 \cdot 100 - 7 \cdot 2\).
Съдружително свойство: Можем да групираме множителите по различен начин. Пример: \((2 \cdot 8) \cdot 5 = 2 \cdot (8 \cdot 5)\).
Разпределително свойство: Умножението може да се "разпредели" при събиране/изваждане. Помага за лесно смятане. Пример: \(7 \cdot (100 - 2) = 7 \cdot 100 - 7 \cdot 2\).
Редът на множителите не променя произведението. Това свойство позволява да разместваме числата, за да улесним пресмятането.
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Изчисляването на \(13 \cdot 50\) е същото като \(50 \cdot 13\), което може да е по-лесно за смятане наум.
\[ 13 \cdot 50 = 650 \]
\[ 50 \cdot 13 = 650 \]
Пресметнете \(25 \cdot 17 \cdot 4\), като използвате разместителното свойство, за да улесните изчисленията.
Разменяме местата на 17 и 4:
\[ (25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700 \]
Когато умножаваме три или повече числа, няма значение как ги групираме. Можем да умножим първо първите две, а после третото, или първо второто и третото, а после първото.
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Да намерим лицето на правоъгълник, чиято дължина е 327 м, а широчината е увеличена 3 пъти спрямо 31 м.
Можем да сметнем по два начина:
Можем да сметнем по два начина:
- \(327 \cdot (31 \cdot 3) = 327 \cdot 93 = 30411\)
- \((327 \cdot 31) \cdot 3 = 10137 \cdot 3 = 30411\)
Пресметнете \((5 \cdot 125) \cdot 8\) като използвате съдружителното свойство.
По-лесно е да групираме 125 и 8:
\[ 5 \cdot (125 \cdot 8) = 5 \cdot 1000 = 5000 \]
Това свойство свързва умножението със събирането и изваждането. Позволява ни да "разкрием скоби" или да "изнесем общ множител пред скоби", което често улеснява пресмятанията.
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
\[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \]
За да пресметнем \(3513 \cdot 21 - 3508 \cdot 21\), вместо да извършваме двете умножения, можем да изнесем 21 пред скоби:
\[ (3513 - 3508) \cdot 21 = 5 \cdot 21 = 105 \]
Пресметнете \(45 \cdot 102\) като използвате разпределителното свойство.
Представяме 102 като сбор на 100 и 2:
\[ 45 \cdot (100 + 2) = 45 \cdot 100 + 45 \cdot 2 = 4500 + 90 = 4590 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете по най-лесния начин \(20 \cdot 157 \cdot 5\). Кои свойства използвахте?
Използваме разместително и съдружително свойство, за да умножим първо 20 и 5.
\[ (20 \cdot 5) \cdot 157 = 100 \cdot 157 = 15700 \]
Използвани свойства: разместително и съдружително.
Средна: Пресметнете по най-удобния начин \(153 \cdot 38 + 153 \cdot 62\).
Използваме разпределителното свойство, като изнасяме общия множител 153 пред скоби:
\[ 153 \cdot (38 + 62) = 153 \cdot 100 = 15300 \]
Трудна: С колко ще се увеличи произведението на числата 1240 и 35, ако първият множител се увеличи с 10? Решете задачата по два начина.
I начин (директно пресмятане):
Новото произведение е \((1240 + 10) \cdot 35 = 1250 \cdot 35 = 43750\).
Старото произведение е \(1240 \cdot 35 = 43400\).
Увеличението е \(43750 - 43400 = 350\).
II начин (с разпределително свойство):
Разликата между новото и старото произведение е: \[ (1240 + 10) \cdot 35 - 1240 \cdot 35 \] Разкриваме скобите: \[ (1240 \cdot 35 + 10 \cdot 35) - 1240 \cdot 35 \] Остава само: \[ 10 \cdot 35 = 350 \] Произведението ще се увеличи с 350.
Новото произведение е \((1240 + 10) \cdot 35 = 1250 \cdot 35 = 43750\).
Старото произведение е \(1240 \cdot 35 = 43400\).
Увеличението е \(43750 - 43400 = 350\).
II начин (с разпределително свойство):
Разликата между новото и старото произведение е: \[ (1240 + 10) \cdot 35 - 1240 \cdot 35 \] Разкриваме скобите: \[ (1240 \cdot 35 + 10 \cdot 35) - 1240 \cdot 35 \] Остава само: \[ 10 \cdot 35 = 350 \] Произведението ще се увеличи с 350.
