Общи Задачи

Най-важното от урока

Сравнение между права призма и пирамида:

Величина	Права призма	Правилна пирамида
Околна повърхнина (\(S\))	\(S = P \cdot h\)	\(S = \frac{P \cdot k}{2}\)
Пълна повърхнина (\(S_1\))	\(S_1 = S + 2B\) (две основи)	\(S_1 = S + B\) (една основа)
Обем (\(V\))	\(V = B \cdot h\)	\(V = \frac{B \cdot h}{3}\)

Важни връзки:

При призма с височина \(h\) околният ръб е \(l = h\), а околните стени са правоъгълници.
При пирамида с височина \(h\) височината на околната стена е апотемата \(k\), а околните стени са триъгълници.
При равни основи и височини, обемът на пирамидата е точно \(3\) пъти по-малък от обема на призмата (\(V_{\text{призма}} = 3 \cdot V_{\text{пирамида}}\)).

Права призма е геометрично тяло, ограничено от два еднакви многоъгълника, наречени основи (горна и долна), и правоъгълници, наречени околни стени.

{Чертеж на права триъгълна призма с върхове A, B, C (долна основа) и A1, B1, C1 (горна основа). Означени са основите, околните стени ABB1A1, BCC1B1, ACC1A1, основните ръбове, околните ръбове и височината h = AA1.}

Елементи на права призма:

Основи: два еднакви многоъгълника, разположени в успоредни равнини. Според броя на страните им призмата бива триъгълна, четириъгълна, петоъгълна и т.н.
Основни ръбове: страните на основите. Съответните основни ръбове на двете основи са равни: \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(AC = A_1C_1\).
Околни стени: правоъгълници, чийто брой е равен на броя на страните на основата.
Околни ръбове: отсечките, свързващи съответните върхове на двете основи (\(AA_1, BB_1, CC_1\)). Всички околни ръбове са равни и успоредни помежду си.
Височина (\(h\)): дължината на околния ръб: \(h = AA_1 = BB_1 = CC_1\). Околните ръбове са перпендикулярни на основите.

Правилна призма е права призма, чиито основи са правилни многоъгълници (равностранен триъгълник, квадрат, правилен петоъгълник, правилен шестоъгълник и т.н.).

При правилна призма всички основни ръбове са равни помежду си (\(b\)), а всички околни стени са еднакви правоъгълници с измерения \(b\) и \(h\). Ако \(h = b\), околните стени са квадрати.

Правилна шестоъгълна призма има периметър на основата \(P = 36\text{ cm}\) и височина, равна на основния ръб. Намерете броя на всички ръбове и сбора от техните дължини.

1. Шестоъгълната призма има \(6\) основни ръба на долната основа, \(6\) на горната основа и \(6\) околни ръба – общо \(18\) ръба.
2. Дължината на основния ръб е \(b = P : 6 = 36 : 6 = 6\text{ cm}\).
3. Височината (околният ръб) е \(h = b = 6\text{ cm}\).
4. Тъй като всички 18 ръба са с дължина \(6\text{ cm}\), сборът от дължините им е \(18 \cdot 6 = 108\text{ cm}\).

Развивката на права призма се състои от голям правоъгълник (разгънатата околна повърхнина) и два еднакви многоъгълника (основите). Едното измерение на големия правоъгълник е периметърът на основата (\(P\)), а другото – височината на призмата (\(h\)).

Лице на околна повърхнина (\(S\)): \[ S = P \cdot h \] \(P\) – периметър на основата, \(h\) – височина (околен ръб) на призмата

Лице на пълна повърхнина (\(S_1\)): \[ S_1 = S + 2B \] \(S\) – околна повърхнина, \(B\) – лице на едната основа

Лицето на основата \(B\) се намира според вида на многоъгълника:

Правоъгълен триъгълник с катети \(a\) и \(b\): \(B = \frac{a \cdot b}{2}\)
Квадрат със страна \(b\): \(B = b^2\)
Трапец с основи \(a, b\) и височина \(h_a\): \(B = \frac{a + b}{2} \cdot h_a\)
Правилен многоъгълник с периметър \(P\) и апотема \(a\): \(B = \frac{P \cdot a}{2}\)

Намерете лицето на околната и пълната повърхнина на права триъгълна призма с височина \(h = 4,5\text{ cm}\) и основа правоъгълен триъгълник с катети \(3\text{ cm}\) и \(4\text{ cm}\) и хипотенуза \(5\text{ cm}\).

1. Периметър на основата: \(P = 3 + 4 + 5 = 12\text{ cm}\).
2. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 12 \cdot 4,5 = 54\text{ cm}^2\).
3. Лице на основата: \(B = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\text{ cm}^2\).
4. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 54 + 2 \cdot 6 = 54 + 12 = 66\text{ cm}^2\).

Обем на права призма (\(V\)): \[ V = B \cdot h \] \(B\) – лице на основата, \(h\) – височина на призмата

За преминаване между мерните единици за обем: \[ 1\text{ m}^3 = 1000\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3 \] \[ 1\text{ dm}^3 = 1000\text{ cm}^3 = 1\text{ литър (l)} \] \[ 1\text{ cm}^3 = 1000\text{ mm}^3 \] При преминаване от по-голяма към по-малка единица се умножава по \(1000\), а от по-малка към по-голяма – се дели на \(1000\).

Правилна четириъгълна призма има обем \(V = 588\text{ cm}^3\) и височина \(h = 1,2\text{ dm}\). Тъй като единиците трябва да са еднакви, превръщаме \(h = 1,2\text{ dm} = 12\text{ cm}\).
Тогава \(B = \frac{V}{h} = \frac{588}{12} = 49\text{ cm}^2\). Тъй като основата е квадрат, основният ръб е \(b = \sqrt{49} = 7\text{ cm}\).

Основата на права призма е трапец с основи \(a = 12\text{ cm}\), \(b = 4\text{ cm}\) и височина \(h_a = 7\text{ cm}\). Намерете обема на призмата, ако височината ѝ е \(h = 18\text{ cm}\).

1. Лице на основата (трапец): \[ B = \frac{a + b}{2} \cdot h_a = \frac{12 + 4}{2} \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56\text{ cm}^2 \] 2. Обем на призмата: \[ V = B \cdot h = 56 \cdot 18 = 1008\text{ cm}^3 \]

Пирамида е геометрично тяло, на което едната стена е произволен многоъгълник (основа), а останалите стени са триъгълници с общ връх (околни стени).

Правилна пирамида е пирамида, на която основата е правилен многоъгълник, а всички околни ръбове са равни помежду си (\(MA = MB = MC = \dots = l\)).

{Чертеж на правилна четириъгълна пирамида с връх M и основа квадрат ABCD с център O. Означени са височината на пирамидата h = MO, околният ръб l = MA, апотемата на пирамидата k = MK, където K е среда на основен ръб AB = b, и апотемата на основата a = OK.}

Основни елементи на правилна пирамида:

Връх (\(M\)): общият връх на всички околни стени.
Основен ръб (\(b\)): страна на правилния многоъгълник в основата.
Околен ръб (\(l\)): отсечка, свързваща върха \(M\) с връх на основата. Околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници с основа \(b\) и бедра \(l\).
Център на основата (\(O\)): центърът на описаната/вписаната окръжност на правилния многоъгълник.
Височина на пирамидата (\(h\)): отсечката, свързваща върха \(M\) с центъра на основата \(O\) (\(MO \perp\) на основата).
Апотема на пирамидата (\(k\)): височината на околна стена, спусната от върха \(M\) към основния ръб.
Апотема на основата (\(a\) или \(d\)): отсечката от центъра на основата \(O\) до средата на основен ръб.

Правилен тетраедър: триъгълна пирамида, на която всичките 6 ръба са равни. Всички нейни 4 стени са еднакви равностранни триъгълници.

Правилна четириъгълна пирамида има периметър на основата \(P = 56\text{ cm}\) и периметър на една околна стена \(P_{\text{ст}} = 64\text{ cm}\). Намерете дължината на околния ръб и сбора от всички ръбове на пирамидата.

1. Основен ръб: \(b = P : 4 = 56 : 4 = 14\text{ cm}\).
2. Околната стена е равнобедрен триъгълник с основа \(b = 14\text{ cm}\) и бедра \(l\): \[ P_{\text{ст}} = b + 2l \implies 64 = 14 + 2l \implies 2l = 50 \implies l = 25\text{ cm} \]
3. Пирамидата има 4 основни и 4 околни ръба: \[ \text{Сбор на всички ръбове} = 4 \cdot 14 + 4 \cdot 25 = 56 + 100 = 156\text{ cm} \]

Развивката на правилна пирамида се състои от един правилен многоъгълник (основа) и толкова еднакви равнобедрени триъгълника (околни стени), колкото са страните на основата.

Лице на околна повърхнина (\(S\)): \[ S = \frac{P \cdot k}{2} \] \(P\) – периметър на основата, \(k\) – апотема на пирамидата

Лице на пълна повърхнина (\(S_1\)): \[ S_1 = S + B \] \(S\) – околна повърхнина, \(B\) – лице на основата

Лицето на правилния многоъгълник в основата се изчислява по формулата: \[ B = \frac{P \cdot a}{2} \] където \(P\) е периметърът на основата, а \(a\) е апотемата на основата. За квадратна основа: \(B = b^2\).

Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб \(b = 20\text{ cm}\) и апотема на пирамидата \(k = 45\text{ cm}\). Намерете околната и пълната повърхнина.

1. Периметър на основата: \(P = 4 \cdot 20 = 80\text{ cm}\).
2. Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{80 \cdot 45}{2} = 1800\text{ cm}^2\).
3. Лице на основата: \(B = b^2 = 20^2 = 400\text{ cm}^2\).
4. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 1800 + 400 = 2200\text{ cm}^2\).

Обем на пирамида (\(V\)): \[ V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h = \frac{B \cdot h}{3} \] \(B\) – лице на основата, \(h\) – височина на пирамидата

Обемът на пирамида е равен на \(\frac{1}{3}\) от обема на призма със същото лице на основата и същата височина: \[ V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{призма}} \iff V_{\text{призма}} = 3 \cdot V_{\text{пирамида}} \]

От формулата за обем \(V = \frac{B \cdot h}{3}\) следват зависимосите: \[ B = \frac{3V}{h} \qquad \text{и} \qquad h = \frac{3V}{B} \]

Намерете обема на пирамида с височина \(h = 10\text{ cm}\) и лице на основата \(B = 90\text{ cm}^2\).

\[ V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{90 \cdot 10}{3} = 300\text{ cm}^3 \]

Задачи за упражнение

Задача 1 (Лесна): Правилна четириъгълна призма има основен ръб \(b = 5\text{ cm}\) и височина \(h = 12\text{ cm}\). Намерете лицето на околната повърхнина \(S\), пълната повърхнина \(S_1\) и обема \(V\) на призмата.

1. Периметър на основата (квадрат): \(P = 4 \cdot 5 = 20\text{ cm}\).
2. Лице на основата: \(B = 5^2 = 25\text{ cm}^2\).
3. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 20 \cdot 12 = 240\text{ cm}^2\).
4. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 240 + 2 \cdot 25 = 290\text{ cm}^2\).
5. Обем: \(V = B \cdot h = 25 \cdot 12 = 300\text{ cm}^3\).

Задача 2 (Средна): Правилна четириъгълна пирамида има пълна повърхнина \(S_1 = 96\text{ cm}^2\) и периметър на основата \(P = 2,4\text{ dm}\). Намерете околната повърхнина \(S\) и обема \(V\), ако височината на пирамидата е \(h = 4\text{ cm}\).

1. Превръщаме мерните единици: \(P = 2,4\text{ dm} = 24\text{ cm}\).
2. Основният ръб е \(b = 24 : 4 = 6\text{ cm}\).
3. Лицето на основата е \(B = b^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2\).
4. Околната повърхнина: \(S = S_1 - B = 96 - 36 = 60\text{ cm}^2\).
5. Обемът: \(V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{36 \cdot 4}{3} = 48\text{ cm}^3\).

Задача 3 (Средна): Правилна шестоъгълна призма има обем \(V = 3159\text{ cm}^3\), височина \(h = 15\text{ cm}\) и апотема на основата \(a = 7,8\text{ cm}\). Намерете дължината на основния ръб \(b\).

1. Намираме лицето на основата: \(B = \frac{V}{h} = \frac{3159}{15} = 210,6\text{ cm}^2\).
2. Тъй като \(B = \frac{P \cdot a}{2}\), изразяваме периметъра \(P\): \[ 210,6 = \frac{P \cdot 7,8}{2} \implies 210,6 = 3,9 \cdot P \implies P = \frac{210,6}{3,9} = 54\text{ cm} \]
3. За правилен шестоъгълник \(P = 6 \cdot b\): \[ b = \frac{54}{6} = 9\text{ cm} \]

Задача 4 (Трудна): Беседка има формата на правилна шестоъгълна призма с покрив от правилна шестоъгълна пирамида със същата основа. Основният ръб на шестоъгълника е \(b = 2\text{ m}\), апотемата на основата е \(a = 1,73\text{ m}\), височината на призмата е \(h_1 = 3\text{ m}\), а височината на пирамидата е \(h_2 = 1,5\text{ m}\). Намерете общия обем на беседката.

1. Периметър на основата: \(P = 6 \cdot b = 6 \cdot 2 = 12\text{ m}\).
2. Лице на основата: \[ B = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{12 \cdot 1,73}{2} = 6 \cdot 1,73 = 10,38\text{ m}^2 \]
3. Обем на призмата (долна част): \[ V_1 = B \cdot h_1 = 10,38 \cdot 3 = 31,14\text{ m}^3 \]
4. Обем на пирамидата (покрив): \[ V_2 = \frac{B \cdot h_2}{3} = \frac{10,38 \cdot 1,5}{3} = 10,38 \cdot 0,5 = 5,19\text{ m}^3 \]
5. Общ обем: \(V = V_1 + V_2 = 31,14 + 5,19 = 36,33\text{ m}^3\).