Обем На Прав Кръгов Конус

Най-важното от урока

Основна формула: Обемът на конус се изчислява с \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), където \(r\) е радиусът, а \(h\) е височината.
Конус от въртене: Когато правоъгълен триъгълник се върти около катет, катетите стават радиус и височина на конуса. Често се налага използването на Питагорова теорема за намиране на липсващ елемент.
Практически съвет: За да намерите обем, винаги се нуждаете от радиуса \(r\) и височината \(h\). Ако някой от тях липсва, използвайте дадената информация (обем, лице на основа, друг елемент на триъгълник), за да го намерите първо.

Обемът на конус е равен на една трета от произведението на лицето на основата му \(B\) и височината му \(h\).

Обемът на конус е 3 пъти по-малък от обема на цилиндър със същия радиус на основата и същата височина.
\( V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} V_{\text{цилиндър}} \)

{Диаграма, показваща експеримент за определяне на обема на конус. Показани са прав кръгов конус и прав кръгов цилиндър без горна основа, като и двата имат един и същ радиус r и височина h. Илюстрацията показва как конусът се пълни с пясък и се изсипва в цилиндъра. Цилиндърът се напълва след трикратно изсипване на съдържанието от конуса, илюстрирайки, че обемът на цилиндъра е три пъти по-голям от обема на конуса.}

\[ V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h \quad \text{или} \quad V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] където \(r\) е радиусът на основата, а \(h\) е височината на конуса.

Намерете обема на прав кръгов конус с радиус \(r = 5\) cm и височина \(h = 9\) cm.
Решение: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 5^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25 \cdot 9 = 25 \pi \cdot 3 = 75 \pi \text{ cm}^3 \]

Намерете обема на конус с радиус \(r = 3\) cm и височина \(h = 5\) cm.

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 5 = 15 \pi \text{ cm}^3 \]

При завъртане на правоъгълен триъгълник около един от катетите му се получава прав кръгов конус.

Катетът, около който се върти триъгълникът, е височината (\(h\)) на конуса.
Другият катет е радиусът (\(r\)) на основата на конуса.
Хипотенузата на триъгълника е образуващата (\(l\)) на конуса.

{Илюстрация на правоъгълен триъгълник ABC, въртящ се около катета BC, за да образува конус. Катетът BC става височина h, а катетът AC става радиус r.}

Правоъгълен \(\triangle ABC\) с катет \(AC = 15\) cm и хипотенуза \(AB = 17\) cm е завъртян около катета \(AC\). Намерете обема на получения конус.
Решение:

Тялото е конус с височина \(h = AC = 15\) cm и радиус \(r = BC\).
Намираме \(BC\) с Питагорова теорема: \(BC^2 = AB^2 - AC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\). Следователно \(r = BC = 8\) cm.
Изчисляваме обема: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot 64\pi \cdot 15 = 64\pi \cdot 5 = 320\pi\) cm³.

Правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm е завъртян около по-големия си катет. Намерете обема на полученото тяло.

По-големият катет е 8 cm, следователно той е височината: \(h=8\) cm.
По-малкият катет е радиусът: \(r=6\) cm.
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12\pi \cdot 8 = 96\pi \) cm³.

Ако са известни обемът на конуса и един от основните му елементи (радиус или височина), можем да намерим другия, като решим уравнение спрямо него.

Намерете височината на конус с радиус \(r = 9\) cm и обем \(V = 540\pi\) cm³.
Решение: Заместваме във формулата \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\): \[ 540\pi = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9^2 \cdot h \] \[ 540\pi = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81 \cdot h \] \[ 540\pi = 27\pi \cdot h \] Делим двете страни на \(27\pi\): \[ h = \frac{540\pi}{27\pi} = 20 \text{ cm} \]

Обемът на конус е \(V=100\pi\) cm³, а височината му е \(h=12\) cm. Намерете радиуса на основата му.

Заместваме във формулата \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\): \[ 100\pi = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 12 \] \[ 100\pi = 4\pi \cdot r^2 \] Делим двете страни на \(4\pi\): \[ r^2 = \frac{100\pi}{4\pi} = 25 \] \[ r = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]

Задачи за упражнение

Лесна: Намерете обема на конус с диаметър на основата 10 cm и височина 6 cm.

Диаметърът е 10 cm, следователно радиусът \(r = 10 / 2 = 5\) cm.
Височината \(h = 6\) cm.
\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 6 = 50\pi\) cm³.

Средна: Лицето на основата на конус е \(B = 36\pi\) cm². Обемът му е \(V = 96\pi\) cm³. Намерете височината \(h\) на конуса.

Използваме формулата \(V = \frac{1}{3} B h\).
\(96\pi = \frac{1}{3} \cdot 36\pi \cdot h\)
\(96\pi = 12\pi \cdot h\)
\(h = \frac{96\pi}{12\pi} = 8\) cm.

Трудна: Правоъгълен триъгълник с катет 12 cm и хипотенуза 13 cm е завъртян около неизвестния си катет. Намерете обема на полученото тяло.

Нека известният катет е \(a=12\) cm, хипотенузата е \(c=13\) cm, а неизвестният катет е \(b\).
1. Намираме катета \(b\) с Питагорова теорема: \(b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\). Следователно \(b=5\) cm.
2. Триъгълникът се върти около катета \(b\). Това означава, че височината на конуса е \(h=b=5\) cm, а радиусът е \(r=a=12\) cm.
3. Изчисляваме обема: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 5 = 48\pi \cdot 5 = 240\pi\) cm³.