Най-важното от урока
Основна формула: В правоъгълен триъгълник винаги е вярно, че \(a^2 + b^2 = c^2\).
Намиране на хипотенуза: Ако катетите са 6 и 8, хипотенузата е \(\sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\).
Намиране на катет: Ако хипотенузата е 13, а единият катет е 5, другият е \(\sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\).
Питагорови тройки: Запомни (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (8, 15, 17) за бързо решаване.
Намиране на хипотенуза: Ако катетите са 6 и 8, хипотенузата е \(\sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\).
Намиране на катет: Ако хипотенузата е 13, а единият катет е 5, другият е \(\sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\).
Питагорови тройки: Запомни (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (8, 15, 17) за бързо решаване.
В правоъгълен триъгълник, сборът от квадратите на дължините на двата катета (\(a\) и \(b\)) е равен на квадрата на дължината на хипотенузата (\(c\)).
Теоремата е валидна само за правоъгълни триъгълници. Катетите са страните, които сключват правия ъгъл, а хипотенузата е най-дългата страна, срещулежаща на правия ъгъл.
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Ако един правоъгълен триъгълник има катети с дължини 3 см и 4 см, можем да намерим хипотенузата:
\[ 3^2 + 4^2 = c^2 \]
\[ 9 + 16 = c^2 \]
\[ 25 = c^2 \]
\[ c = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]
Правоъгълен триъгълник има катети 5 см и 12 см. Намерете дължината на хипотенузата му.
Прилагаме Питагоровата теорема: \(a^2 + b^2 = c^2\)
\[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[ 25 + 144 = c^2 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]
Ако са известни дължините на хипотенузата и единия катет, можем да намерим дължината на другия катет, като преобразуваме формулата.
\[ a^2 = c^2 - b^2 \quad \text{или} \quad b^2 = c^2 - a^2 \]
В правоъгълен триъгълник хипотенузата \(c\) е 10 см, а единият катет \(a\) е 6 см. Намираме другия катет \(b\):
\[ b^2 = 10^2 - 6^2 \]
\[ b^2 = 100 - 36 \]
\[ b^2 = 64 \]
\[ b = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]
Даден е правоъгълен триъгълник с хипотенуза 25 м и катет 7 м. Намерете дължината на другия катет.
Нека неизвестният катет е \(x\).
\[ x^2 = 25^2 - 7^2 \]
\[ x^2 = 625 - 49 \]
\[ x^2 = 576 \]
\[ x = \sqrt{576} = 24 \text{ м} \]
Питагорова тройка се нарича всяка тройка от цели числа \((a, b, c)\), които удовлетворяват уравнението \(a^2 + b^2 = c^2\).
Запомнянето на основните Питагорови тройки може значително да ускори решаването на задачи.
Най-известните Питагорови тройки са:
- (3, 4, 5), защото \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\)
- (5, 12, 13), защото \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\)
- (8, 15, 17), защото \(8^2+15^2=64+225=289=17^2\)
Страните на правоъгълен триъгълник са 9 см и 12 см. Колко е хипотенузата, ако използвате знанието си за Питагорови тройки?
Забелязваме, че \(9 = 3 \cdot 3\) и \(12 = 3 \cdot 4\). Това е тройката (3, 4, 5), умножена по 3.
Следователно хипотенузата ще е \(3 \cdot 5 = 15\) см.
Проверка: \(9^2+12^2 = 81+144 = 225 = 15^2\).
Следователно хипотенузата ще е \(3 \cdot 5 = 15\) см.
Проверка: \(9^2+12^2 = 81+144 = 225 = 15^2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е правоъгълен \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\). Ако катетите са \(a = 8\) см и \(b = 15\) см, намерете дължината на хипотенузата \(c\).
По Питагоровата теорема:
\[ c^2 = a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \]
\[ c = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \]
(Това е Питагоровата тройка 8, 15, 17).
Средна: В правоъгълен триъгълник хипотенузата е \(c = 26\) см, а лицето е \(S = 120\) см². Намерете катетите на триъгълника.
Знаем, че \(a^2 + b^2 = c^2 = 26^2 = 676\).
Също така, лицето е \(S = \frac{a \cdot b}{2} = 120\), откъдето \(a \cdot b = 240\).
Можем да забележим, че Питагоровата тройка (5, 12, 13), умножена по 2, дава (10, 24, 26).
Проверяваме дали тези катети отговарят на условието за лице:
\[ S = \frac{10 \cdot 24}{2} = \frac{240}{2} = 120 \text{ см}^2 \]
Условието е изпълнено.
Отговор: Катетите са 10 см и 24 см.
Отговор: Катетите са 10 см и 24 см.
Трудна: В координатна система са дадени точките \(A(-2, -1)\) и \(B(6, 5)\). Намерете разстоянието между тях.
За да намерим разстоянието \(AB\), можем да построим правоъгълен триъгълник. Нека третият връх е \(C(6, -1)\).
Дължината на хоризонталния катет \(AC\) е разликата в x-координатите: \(6 - (-2) = 8\).
Дължината на вертикалния катет \(BC\) е разликата в y-координатите: \(5 - (-1) = 6\).
Разстоянието \(AB\) е хипотенузата на \(\triangle ABC\). \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \] \[ AB = \sqrt{100} = 10 \text{ м. ед.} \]
Дължината на хоризонталния катет \(AC\) е разликата в x-координатите: \(6 - (-2) = 8\).
Дължината на вертикалния катет \(BC\) е разликата в y-координатите: \(5 - (-1) = 6\).
Разстоянието \(AB\) е хипотенузата на \(\triangle ABC\). \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \] \[ AB = \sqrt{100} = 10 \text{ м. ед.} \]
