Най-важното от урока
Ключови изводи:
- Рационални числа: Включват положителни, отрицателни числа и нула.
- Модул: \(|a|\) е винаги неотрицателен. \(|-7| = 7\).
- Събиране и изваждане: \(a - b\) е същото като \(a + (-b)\). Пример: \(-3 - 5 = -8\).
- Разкриване на скоби: Знак „-“ пред скоба сменя знаците вътре. \(10 - (5-8) = 10 - 5 + 8 = 13\).
- Умножение и деление: Два еднакви знака дават `(+)`, два различни знака дават `(-)` . Пример: \((-4) \cdot (-5) = 20\); \(20 : (-4) = -5\).
- Ред на действия: 1. Скоби; 2. Умножение/Деление (отляво-надясно); 3. Събиране/Изваждане (отляво-надясно).
- Координатна система: Точка \(A(x,y)\) има абсциса \(x\) и ордината \(y\).
- Симетрия: Спрямо OY се сменя знакът на \(x\). Спрямо OX се сменя знакът на \(y\). Спрямо O се сменят и двата знака.
Числата, пред които стои знак „+“ (или нямат знак), се наричат положителни. Числата, пред които стои знак „-“, се наричат отрицателни. Числото 0 не е нито положително, нито отрицателно.
Всички положителни, отрицателни числа и нулата образуват множеството на рационалните числа, което се означава с \( \mathbb{Q} \).
- Температура над нулата се записва като положително число: \(+5^\circ\).
- Надморска височина се записва като положително число: \(+2376 \text{ м}\).
- Температура под нулата се записва като отрицателно число: \(-3^\circ\).
- Дълг или недостиг се записва като отрицателно число: \(-2 \text{ лв}\).
Един водолаз се намира на 15 метра под морското равнище. Как ще запишете дълбочината му като рационално число?
Тъй като морското равнище се приема за 0, дълбочината се представя с отрицателно число.
Отговор: \(-15 \text{ м}\).
Отговор: \(-15 \text{ м}\).
Числовата ос е права, върху която е избрано начало (точка О, образ на 0), положителна посока (обикновено надясно) и мерна единица. Всяко рационално число има точно една точка-образ върху числовата ос.
Числото, съответстващо на дадена точка, се нарича нейна координата. Записваме \( A(x) \), което се чете „точка А с координата x“.
На числовата ос по-горе:
- Точка А има координата 2, записваме \( A(2) \).
- Точка B има координата -3, записваме \( B(-3) \).
Къде върху числовата ос се намира точка \( C(-1,5) \)?
Тъй като числото е отрицателно, точката е вляво от началото (0). Намира се на 1,5 мерни единици от 0, точно по средата между -1 и -2.
Две числа, които се различават само по знака си, се наричат противоположни. Техните образи върху числовата ос са на равни разстояния от началото O. Противоположното на \(a\) се бележи с \(-a\).
Абсолютна стойност (модул) на число е разстоянието от неговия образ до началото на числовата ос. Модулът е винаги неотрицателно число (\( |a| \ge 0 \)).
Ако \(a\) е рационално число:
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ако } a \ge 0 \\ -a, & \text{ако } a < 0 \end{cases} \]
- Числата 5 и -5 са противоположни. \( -(-5) = 5 \).
- Модулът на 5 е 5: \(|5| = 5\).
- Модулът на -5 е 5: \(|-5| = 5\).
- Противоположните числа имат равни модули: \(|-5| = |5|\).
Намерете стойността на израза \(|-8| - |3|\).
\(|-8| = 8\) и \(|3| = 3\).
\(|-8| - |3| = 8 - 3 = 5\).
\(|-8| - |3| = 8 - 3 = 5\).
От две различни числа, изобразени на числовата ос, по-голямо е това, което се намира надясно.
Всяко положително число е по-голямо от 0 и от всяко отрицателно число. Пример: \( 5 > -100 \).
Всяко отрицателно число е по-малко от 0. Пример: \( -7 < 0 \).
От две отрицателни числа по-голямо е това, което има по-малък модул.
Сравнете числата -10 и -2.
Намираме модулите: \(|-10|=10\) и \(|-2|=2\).
Тъй като \(2 < 10\), то \(-2 > -10\). На числовата ос -2 е по-надясно от -10.
Намираме модулите: \(|-10|=10\) и \(|-2|=2\).
Тъй като \(2 < 10\), то \(-2 > -10\). На числовата ос -2 е по-надясно от -10.
Подредете числата -5, 3, 0, -1, 2 в нарастващ ред (от най-малкото към най-голямото).
Най-малки са отрицателните числа. Сравняваме -5 и -1: \(|-5| > |-1|\), следователно \(-5 < -1\). Следва 0, а след това положителните числа.
Отговор: \(-5 < -1 < 0 < 2 < 3\).
Отговор: \(-5 < -1 < 0 < 2 < 3\).
Събираме модулите на числата и пред резултата пишем общия им знак.
\( (+5) + (+3) = +(5+3) = 8 \)
\( (-5) + (-3) = -(5+3) = -8 \)
\( (-5) + (-3) = -(5+3) = -8 \)
От числото с по-голям модул изваждаме числото с по-малък модул и пред резултата пишем знака на числото с по-голям модул.
\( (-5) + (+3) = -(5-3) = -2 \) (по-голям модул има -5)
\( (+5) + (-3) = +(5-3) = 2 \) (по-голям модул има +5)
\( (+5) + (-3) = +(5-3) = 2 \) (по-голям модул има +5)
Сборът на две противоположни числа е винаги 0. Пример: \( (-5) + (+5) = 0 \).
Пресметнете сбора \( (-10) + (+4) \).
Числата са с различни знаци. \(|-10|=10\), \(|+4|=4\). По-голям е модулът на -10.
\( (-10) + (+4) = -(10-4) = -6 \).
\( (-10) + (+4) = -(10-4) = -6 \).
За да извадим едно число от друго, към умаляемото прибавяме противоположното число на умалителя.
\[ a - b = a + (-b) \]
\( (-7) - (-10) = (-7) + (+10) = 3 \)
\( (+8) - (+12) = (+8) + (-12) = -4 \)
\( (+8) - (+12) = (+8) + (-12) = -4 \)
Пресметнете разликата \( (-5) - (+9) \).
\( (-5) - (+9) = (-5) + (-9) = -14 \).
Правилата за разкриване на скоби свеждат всяка поредица от събиране и изваждане до алгебричен сбор.
\( +(+a) = +a \)
\( +(-a) = -a \)
\( -(+a) = -a \)
\( -(-a) = +a \)
\( +(-a) = -a \)
\( -(+a) = -a \)
\( -(-a) = +a \)
Пресметнете израза \( -5 - (-8 + 3) \).
I начин (първо в скобите): \( -5 - (-5) = -5 + 5 = 0 \)
II начин (с разкриване на скоби): \( -5 - (-8 + 3) = -5 + 8 - 3 = 3 - 3 = 0 \)
I начин (първо в скобите): \( -5 - (-5) = -5 + 5 = 0 \)
II начин (с разкриване на скоби): \( -5 - (-8 + 3) = -5 + 8 - 3 = 3 - 3 = 0 \)
Разкрийте скобите и пресметнете: \( 10 + (-5 - 2) \).
\( 10 + (-5 - 2) = 10 - 5 - 2 = 5 - 2 = 3 \).
При умножение или деление на две числа се определя знакът на резултата, след което се умножават или делят техните модули.
Правило на знаците:
\( (+) \cdot (+) = (+) \) \( (+) : (+) = (+) \)
\( (-) \cdot (-) = (+) \) \( (-) : (-) = (+) \)
\( (+) \cdot (-) = (-) \) \( (+) : (-) = (-) \)
\( (-) \cdot (+) = (-) \) \( (-) : (+) = (-) \)
\( (+) \cdot (+) = (+) \) \( (+) : (+) = (+) \)
\( (-) \cdot (-) = (+) \) \( (-) : (-) = (+) \)
\( (+) \cdot (-) = (-) \) \( (+) : (-) = (-) \)
\( (-) \cdot (+) = (-) \) \( (-) : (+) = (-) \)
- \( (-7) \cdot (-3) = +21 \) (два еднакви знака дават плюс)
- \( (+10) \cdot (-2) = -20 \) (два различни знака дават минус)
- \( (-24) : (+8) = -3 \) (два различни знака дават минус)
- \( (-100) : (-25) = +4 \) (два еднакви знака дават плюс)
Пресметнете \( (-5) \cdot (+4) : (-10) \).
Действията се извършват отляво надясно.
\( (-5) \cdot (+4) = -20 \)
\( (-20) : (-10) = +2 \)
\( (-5) \cdot (+4) = -20 \)
\( (-20) : (-10) = +2 \)
Разместително (комутативно): \(a+b = b+a\); \(a \cdot b = b \cdot a\)
Съдружително (асоциативно): \((a+b)+c = a+(b+c)\); \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
Разпределително (дистрибутивно): \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)
Пресметнете рационално \( -2,5 \cdot 15 + (-2,5) \cdot 85 \).
Изнасяме общия множител \(-2,5\) пред скоби: \[ -2,5 \cdot (15 + 85) = -2,5 \cdot 100 = -250 \]
Изнасяме общия множител \(-2,5\) пред скоби: \[ -2,5 \cdot (15 + 85) = -2,5 \cdot 100 = -250 \]
Пресметнете рационално \( -18 \cdot \frac{1}{7} + 4 \cdot \frac{1}{7} \).
\( (-18 + 4) \cdot \frac{1}{7} = -14 \cdot \frac{1}{7} = -2 \).
Системата от две перпендикулярни числови оси с общо начало O се нарича Декартова координатна система. Хоризонталната ос е абсцисна (Ox), а вертикалната - ординатна (Oy).
Всяка точка в равнината се описва с наредена двойка числа \((x; y)\), наречени нейни координати. \(x\) е абсцисата, \(y\) е ординатата.
Точка \(A(-3; 5)\) има абсциса \(x=-3\) и ордината \(y=5\). Тъй като \(x<0\) и \(y>0\), точката лежи във II квадрант.
В кой квадрант лежи точка \(B(4; -2)\)?
Абсцисата \(x=4\) е положителна, а ординатата \(y=-2\) е отрицателна.
Отговор: Точката лежи в IV квадрант.
Отговор: Точката лежи в IV квадрант.
Симетричната точка на \(A(x; y)\) спрямо:
- Абсцисната ос (Ox) е точка \(A_1(x; -y)\) (сменя се знакът на ординатата).
- Ординатната ос (Oy) е точка \(A_2(-x; y)\) (сменя се знакът на абсцисата).
- Началото O(0; 0) е точка \(A_3(-x; -y)\) (сменят се знаците и на двете координати).
Дадена е точка \(M(-2; 7)\).
- Симетричната ѝ спрямо Ox е \(M_1(-2; -7)\).
- Симетричната ѝ спрямо Oy е \(M_2(2; 7)\).
- Симетричната ѝ спрямо O е \(M_3(2; -7)\).
Намерете координатите на точка B, която е симетрична на точка \(A(5; -1)\) спрямо началото на координатната система.
Променяме знаците и на двете координати на точка A.
Отговор: \(B(-5; 1)\).
Отговор: \(B(-5; 1)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( -15 : 3 - (5 \cdot (-2)) \).
Спазваме реда на действията:
1. Действие в скоби: \(5 \cdot (-2) = -10\).
2. Деление: \(-15 : 3 = -5\).
3. Изваждане: \(-5 - (-10) = -5 + 10 = 5\).
Отговор: 5.
1. Действие в скоби: \(5 \cdot (-2) = -10\).
2. Деление: \(-15 : 3 = -5\).
3. Изваждане: \(-5 - (-10) = -5 + 10 = 5\).
Отговор: 5.
Средна: Намерете числената стойност на израза \( A = -5 \cdot x - |y| : 2 \), ако \(x = -3\) и \(y = -12\).
Заместваме \(x\) и \(y\) с техните стойности в израза:
\( A = -5 \cdot (-3) - |-12| : 2 \)
Първо изчисляваме модула: \( |-12| = 12 \).
\( A = -5 \cdot (-3) - 12 : 2 \)
Извършваме умножението и делението:
\( A = 15 - 6 \)
Извършваме изваждането:
\( A = 9 \)
Отговор: 9.
\( A = -5 \cdot (-3) - |-12| : 2 \)
Първо изчисляваме модула: \( |-12| = 12 \).
\( A = -5 \cdot (-3) - 12 : 2 \)
Извършваме умножението и делението:
\( A = 15 - 6 \)
Извършваме изваждането:
\( A = 9 \)
Отговор: 9.
Трудна: В правоъгълна координатна система са дадени точките \(A(-3; -2)\), \(B(5; -2)\) и \(C(5; 3)\). Намерете координатите на точка \(D\) така, че фигурата \(ABCD\) да е правоъгълник, и изчислете лицето ѝ.
За да бъде фигурата правоъгълник, страните трябва да са успоредни на осите.
Абсцисата на D трябва да е същата като на A (\(x_D = -3\)).
Ординатата на D трябва да е същата като на C (\(y_D = 3\)).
Следователно, \(D(-3; 3)\).
Дължината на страната AB (успоредна на Ox) е \(|5 - (-3)| = |8| = 8\) м. ед.
Дължината на страната BC (успоредна на Oy) е \(|3 - (-2)| = |5| = 5\) м. ед.
Лицето \(S = AB \cdot BC = 8 \cdot 5 = 40\) кв. м. ед.
Отговор: \(D(-3; 3)\), лицето е 40 кв. м. ед.
Абсцисата на D трябва да е същата като на A (\(x_D = -3\)).
Ординатата на D трябва да е същата като на C (\(y_D = 3\)).
Следователно, \(D(-3; 3)\).
Дължината на страната AB (успоредна на Ox) е \(|5 - (-3)| = |8| = 8\) м. ед.
Дължината на страната BC (успоредна на Oy) е \(|3 - (-2)| = |5| = 5\) м. ед.
Лицето \(S = AB \cdot BC = 8 \cdot 5 = 40\) кв. м. ед.
Отговор: \(D(-3; 3)\), лицето е 40 кв. м. ед.
