Най-важното от урока
Декартова координатна система: Състои се от две перпендикулярни оси: \(Ox\) (абсцисна) и \(Oy\) (ординатна) с пресечна точка \(O(0;0)\). Точките се записват като \(A(x; y)\).
Квадранти: I \((+,+)\), II \((-,+)\), III \((-,-)\), IV \((+,-)\). Върху осите: \((\text{на } Ox \implies y=0)\), \((\text{на } Oy \implies x=0)\).
Симетрия за \(A(x; y)\):
Квадранти: I \((+,+)\), II \((-,+)\), III \((-,-)\), IV \((+,-)\). Върху осите: \((\text{на } Ox \implies y=0)\), \((\text{на } Oy \implies x=0)\).
Симетрия за \(A(x; y)\):
- спрямо \(Ox \implies A_1(x; -y)\)
- спрямо \(Oy \implies A_2(-x; y)\)
- спрямо \(O \implies A_3(-x; -y)\)
Декартова (правоъгълна) координатна система \(Oxy\) се образува от две взаимноперпендикулярни числови оси с общо начало точката \(O\) и избрана еднаква мерна единица върху тях.
Основни означения:
- Точка \(O(0; 0)\) – начало на координатната система;
- Ос \(Ox\) – абсцисна ос (хоризонтална ос);
- Ос \(Oy\) – ординатна ос (вертикална ос).
Мястото на всяка точка \(A\) в равнината се определя от наредена двойка числа: \(A(x; y)\).
- \(x\) – абсциса (отчита се по оста \(Ox\));
- \(y\) – ордината (отчита се по оста \(Oy\)).
Редът на числата в наредената двойка е от съществено значение: точките \(A(2; 1)\) и \(B(1; 2)\) са две различни точки в равнината!
- Ако точка лежи на абсцисната ос (\(Ox\)), нейната ордината е \(0\): \(M(x; 0)\).
- Ако точка лежи на ординатната ос (\(Oy\)), нейната абсциса е \(0\): \(N(0; y)\).
Точката \(P(-3; 4)\) има абсциса \(x = -3\) и ордината \(y = 4\). Точката \(K(5; 0)\) лежи на оста \(Ox\), а точката \(L(0; -2)\) лежи на оста \(Oy\).
Определете координатите на точка, която се намира на 4 мерни единици наляво от оста \(Oy\) и на 3 мерни единици нагоре от оста \(Ox\).
Наляво от оста \(Oy\) означава отрицателна абсциса: \(x = -4\). Нагоре от оста \(Ox\) означава положителна ордината: \(y = 3\).
Отговор: Точката е с координати \((-4; 3)\).
Отговор: Точката е с координати \((-4; 3)\).
Координатните оси \(Ox\) и \(Oy\) разделят равнината на четири части, наречени квадранти.
| Квадрант | Абсциса (\(x\)) | Ордината (\(y\)) | Знаци \((x; y)\) | Пример |
|---|---|---|---|---|
| I квадрант | \(x > 0\) (положителна) | \(y > 0\) (положителна) | \((+; +)\) | \(A(3; 5)\) |
| II квадрант | \(x < 0\) (отрицателна) | \(y > 0\) (положителна) | \((-; +)\) | \(B(-4; 2)\) |
| III квадрант | \(x < 0\) (отрицателна) | \(y < 0\) (отрицателна) | \((-; -)\) | \(C(-2; -6)\) |
| IV квадрант | \(x > 0\) (положителна) | \(y < 0\) (отрицателна) | \((+; -)\) | \(D(1; -3)\) |
Точките, лежащи върху осите \(Ox\) и \(Oy\), както и началото \(O(0; 0)\), не принадлежат на нито един квадрант.
В кой квадрант лежат точките \(M(-5; 7)\), \(N(3; -8)\) и \(K(-1; -4)\)?
- \(M(-5; 7)\): \(x < 0, y > 0\) \(\implies\) II квадрант
- \(N(3; -8)\): \(x > 0, y < 0\) \(\implies\) IV квадрант
- \(K(-1; -4)\): \(x < 0, y < 0\) \(\implies\) III квадрант
За дадена точка \(A(x; y)\):
- Симетрична спрямо оста \(Ox\): запазва абсцисата си, а ординатата става противоположен знак: \[ A_1(x; -y) \]
- Симетрична спрямо оста \(Oy\): запазва ординатата си, а абсцисата става противоположен знак: \[ A_2(-x; y) \]
- Симетрична спрямо началото \(O(0; 0)\): и двете координати са с противоположни знаци: \[ A_3(-x; -y) \]
За точката \(A(4; -3)\):
- Симетричната спрямо \(Ox\) е \(A_1(4; 3)\);
- Симетричната спрямо \(Oy\) е \(A_2(-4; -3)\);
- Симетричната спрямо \(O\) е \(A_3(-4; 3)\).
Намерете координатите на точката \(B\), която е симетрична на \(A(-6; 2)\) спрямо координатното начало \(O\), и на точката \(C\), симетрична на \(A\) спрямо оста \(Oy\).
- Спрямо началото \(O\): сменяме знаците на двете координати \(\implies B(6; -2)\).
- Спрямо оста \(Oy\): сменяме знака само на абсцисата \(\implies C(6; 2)\).
Дължина на отсечка, успоредна на координатна ос:
- Ако отсечката е успоредна на \(Ox\) (точки \(A(x_1; y)\) и \(B(x_2; y)\)): \[ AB = |x_2 - x_1| \]
- Ако отсечката е успоредна на \(Oy\) (точки \(C(x; y_1)\) и \(D(x; y_2)\)): \[ CD = |y_2 - y_1| \]
Дадени са точките \(M(-2; 3)\) и \(N(5; 3)\). Тъй като ординатите им са равни, отсечката \(MN\) е успоредна на оста \(Ox\).
Дължината ѝ е \(MN = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7\) мерни единици.
Дължината ѝ е \(MN = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7\) мерни единици.
Дадени са върховете на правоъгълник \(A(-3; -1)\), \(B(2; -1)\), \(C(2; 4)\) и \(D(-3; 4)\). Намерете дължините на страните, обиколката \(P\) и лицето \(S\) на правоъгълника.
- Дължина по \(Ox\): \(AB = CD = 2 - (-3) = 5\) м. ед.
- Ширина по \(Oy\): \(BC = AD = 4 - (-1) = 5\) м. ед. (фигурата е квадрат).
- Обиколка: \(P = 4 \cdot 5 = 20\) м. ед.
- Лице: \(S = 5 \cdot 5 = 25\) кв. м. ед.
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Определете в кой квадрант или на коя ос лежи всяка от точките:
а) \(A(4; 7)\); б) \(B(-3; -5)\); в) \(C(0; -6)\); г) \(D(5; -1)\).
а) \(A(4; 7)\); б) \(B(-3; -5)\); в) \(C(0; -6)\); г) \(D(5; -1)\).
- а) \(A(4; 7)\): \(x > 0, y > 0 \implies\) I квадрант;
- б) \(B(-3; -5)\): \(x < 0, y < 0 \implies\) III квадрант;
- в) \(C(0; -6)\): \(x = 0 \implies\) лежи на ординатната ос (\(Oy\));
- г) \(D(5; -1)\): \(x > 0, y < 0 \implies\) IV квадрант.
Задача 2 (Средна): Дадена е точката \(M(-5; 3)\).
а) Намерете координатите на точката \(M_1\), симетрична на \(M\) спрямо оста \(Ox\).
б) Намерете координатите на точката \(M_2\), симетрична на \(M\) спрямо оста \(Oy\).
в) Намерете координатите на точката \(M_3\), симетрична на \(M\) спрямо координатното начало \(O\).
а) Намерете координатите на точката \(M_1\), симетрична на \(M\) спрямо оста \(Ox\).
б) Намерете координатите на точката \(M_2\), симетрична на \(M\) спрямо оста \(Oy\).
в) Намерете координатите на точката \(M_3\), симетрична на \(M\) спрямо координатното начало \(O\).
- а) Спрямо \(Ox\) ординатата променя знака си: \(M_1(-5; -3)\);
- б) Спрямо \(Oy\) абсцисата променя знака си: \(M_2(5; 3)\);
- в) Спрямо \(O\) и двете координати променят знаците си: \(M_3(5; -3)\).
Задача 3 (Средна): В координатна система \(Oxy\) са дадени точките \(A(-4; 1)\), \(B(2; 1)\) и \(C(2; 5)\).
а) Намерете дължините на отсечките \(AB\) и \(BC\).
б) Определете вида на \(\triangle ABC\) и намерете неговото лице \(S\).
а) Намерете дължините на отсечките \(AB\) и \(BC\).
б) Определете вида на \(\triangle ABC\) и намерете неговото лице \(S\).
- а) \(AB = 2 - (-4) = 6\) м. ед. (хоризонтална отсечка);
\(BC = 5 - 1 = 4\) м. ед. (вертикална отсечка). - б) Тъй като \(AB \parallel Ox\) и \(BC \parallel Oy\), ъгълът \(\sphericalangle ABC = 90^\circ\), следователно \(\triangle ABC\) е правоъгълен с катети \(AB = 6\) и \(BC = 4\).
Лицето е: \[ S = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \text{ кв. м. ед.} \]
Задача 4 (Трудна): Автомобил се движи с постоянна скорост, като изминатият път \(s\) (в km) се изразява спрямо времето \(t\) (в часове). На координатната графика точката \(A(2; 140)\) показва изминатия път за 2 часа.
а) Намерете скоростта на автомобила \(v\).
б) Определете координатите на точката \(B(t_B; s_B)\), ако пътуването е продължило 4,5 часа.
а) Намерете скоростта на автомобила \(v\).
б) Определете координатите на точката \(B(t_B; s_B)\), ако пътуването е продължило 4,5 часа.
- а) От точка \(A(2; 140)\) имаме \(t = 2\text{ h}\) и \(s = 140\text{ km}\).
Скоростта е \(v = \frac{s}{t} = \frac{140}{2} = 70\text{ km/h}\). - б) За време \(t_B = 4{,}5\text{ h}\), изминатият път е: \[ s_B = v \cdot t_B = 70 \cdot 4{,}5 = 315\text{ km} \] Следователно точката е \(B(4{,}5; 315)\).
