Най-важното от урока
Ключови изводи
- Сфера: Повърхност, чиито точки са на равно разстояние (радиус \(r\)) от център.
- Формула за лице: Основният инструмент за изчисления е формулата \( S = 4 \pi r^2 \).
- Пресмятане на радиус: Ако е дадено лицето \(S\), радиусът се намира с \( r = \sqrt{S / (4\pi)} \).
- Връзка с диаметър: Винаги помни, че \( d = 2r \). Ако е даден диаметър, първо намери радиуса.
Сфера е повърхнината на геометрично тяло, наречено кълбо. Всички точки от сферата са на равно разстояние от една централна точка, наречена център.
- Радиус (r): Разстоянието от центъра до всяка точка от сферата.
- Диаметър (d): Отсечка, която минава през центъра и свързва две точки от сферата. Винаги \(d = 2r\).
- Голяма окръжност: Окръжност върху сферата с радиус, равен на радиуса на сферата.
Ако една топка има радиус 12 cm, нейният диаметър е \(2 \cdot 12 = 24\) cm.
Диаметърът на една сфера е 14 m. Колко е нейният радиус?
Отговор: Радиусът е половината от диаметъра: \(r = d / 2 = 14 / 2 = 7\) m.
Лицето на повърхнината на сфера (S) се изчислява чрез нейния радиус (r).
\[ S = 4 \pi r^2 \]
Лицето на сферата е 4 пъти по-голямо от лицето на нейната голяма окръжност (\(\pi r^2\)).
Намерете лицето на сфера с радиус \(r = 2\) cm.
Решение: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi (2^2) = 4 \pi \cdot 4 = 16\pi \text{ cm}^2 \] Ако използваме \( \pi \approx 3,14 \), то \( S \approx 16 \cdot 3,14 = 50,24 \text{ cm}^2 \).
Решение: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi (2^2) = 4 \pi \cdot 4 = 16\pi \text{ cm}^2 \] Ако използваме \( \pi \approx 3,14 \), то \( S \approx 16 \cdot 3,14 = 50,24 \text{ cm}^2 \).
Намерете лицето на сфера с радиус 5 dm. Изразете отговора чрез \( \pi \).
Отговор: \( S = 4 \pi (5^2) = 4 \pi \cdot 25 = 100\pi \text{ dm}^2 \).
Ако знаем лицето на повърхнината на сфера (S), можем да намерим нейния радиус (r), като преобразуваме формулата.
От формулата \( S = 4 \pi r^2 \) изразяваме \( r^2 \):
\[ r^2 = \frac{S}{4\pi} \]
Намираме радиуса, като коренуваме резултата:
\[ r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} \]
Лицето на повърхнината на сфера е \( S = 324\pi \text{ cm}^2 \). Намерете радиуса ѝ.
Решение: \[ r^2 = \frac{324\pi}{4\pi} = 81 \] \[ r = \sqrt{81} = 9 \text{ cm} \]
Решение: \[ r^2 = \frac{324\pi}{4\pi} = 81 \] \[ r = \sqrt{81} = 9 \text{ cm} \]
Лицето на сфера е \(64\pi \text{ m}^2\). Намерете нейния диаметър.
Първо намираме радиуса:
\[ r^2 = \frac{64\pi}{4\pi} = 16 \]
\[ r = \sqrt{16} = 4 \text{ m} \]
След това намираме диаметъра:
\[ d = 2r = 2 \cdot 4 = 8 \text{ m} \]
Отговор: Диаметърът е 8 m.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на повърхнина на сфера с радиус \( r = 1 \text{ m} \). Изразете отговора чрез \( \pi \).
\[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi (1^2) = 4\pi \text{ m}^2 \]
Средна: Диаметърът на глобус е 30 cm. Намерете лицето на повърхнината му. (Използвайте \(\pi \approx 3,14\)).
Първо намираме радиуса: \( r = d / 2 = 30 / 2 = 15 \) cm.
След това пресмятаме лицето: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 15^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 225 \] \[ S = 12,56 \cdot 225 = 2826 \text{ cm}^2 \]
След това пресмятаме лицето: \[ S = 4 \pi r^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 15^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 225 \] \[ S = 12,56 \cdot 225 = 2826 \text{ cm}^2 \]
Трудна: Лицето на повърхнината на една сфера е \( S = 452,16 \text{ cm}^2 \). Намерете нейния радиус. (Използвайте \(\pi \approx 3,14\)).
Използваме формулата \( S = 4 \pi r^2 \):
\[ 452,16 = 4 \cdot 3,14 \cdot r^2 \]
\[ 452,16 = 12,56 \cdot r^2 \]
\[ r^2 = \frac{452,16}{12,56} = 36 \]
\[ r = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \]
